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九州大学 1994年理系第4問解説

方針・初手

(1)(ア) は積和の公式を用いて被積分関数を和の形に変形する。このとき、$m$ と $n$ が等しい場合と異なる場合で場合分けが生じることに注意する。(イ) は部分積分法を用いる。 (2) は被積分関数を展開し、(1) で得られた積分結果を適用する。$I$ は $a,b,c$ の独立した2次式の和となるため、それぞれの変数について平方完成を行うことで最小値を求める。

解法1

(1)(ア)

積和の公式により、$\sin mx \sin nx = -\frac{1}{2} \{ \cos(m+n)x - \cos(m-n)x \}$ と変形できる。

(i) $m \neq n$ のとき

$$\begin{aligned} \int_0^\pi \sin mx \sin nx dx &= -\frac{1}{2} \int_0^\pi \{ \cos(m+n)x - \cos(m-n)x \} dx \\ &= -\frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(m+n)x}{m+n} - \frac{\sin(m-n)x}{m-n} \right]_0^\pi \end{aligned}$$

$m, n$ は正の整数であるから、$m+n, m-n$ は $0$ でない整数である。したがって、$\sin(m+n)\pi = 0$ および $\sin(m-n)\pi = 0$ が成り立つため、定積分の値は $0$ となる。

(ii) $m = n$ のとき

$$\begin{aligned} \int_0^\pi \sin mx \sin nx dx &= \int_0^\pi \sin^2 mx dx \\ &= \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2mx}{2} dx \\ &= \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2mx}{4m} \right]_0^\pi \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

(1)(イ)

部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^\pi x \sin mx dx &= \left[ x \left( -\frac{\cos mx}{m} \right) \right]_0^\pi - \int_0^\pi 1 \cdot \left( -\frac{\cos mx}{m} \right) dx \\ &= -\frac{\pi \cos m\pi}{m} + \left[ \frac{\sin mx}{m^2} \right]_0^\pi \end{aligned}$$

$m$ は正の整数であるため、$\cos m\pi = (-1)^m$、$\sin m\pi = 0$ となる。したがって、

$$\begin{aligned} \int_0^\pi x \sin mx dx &= -\frac{\pi (-1)^m}{m} \\ &= \frac{(-1)^{m+1}\pi}{m} \end{aligned}$$

(2)

$I = \int_0^\pi (a \sin x + b \sin 2x + c \sin 3x - x)^2 dx$ の被積分関数を展開すると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} &a^2 \sin^2 x + b^2 \sin^2 2x + c^2 \sin^2 3x + x^2 \\ &+ 2ab \sin x \sin 2x + 2bc \sin 2x \sin 3x + 2ca \sin 3x \sin x \\ &- 2ax \sin x - 2bx \sin 2x - 2cx \sin 3x \end{aligned}$$

これを区間 $[0, \pi]$ で積分する。(1)(ア) の結果より、異なる正の整数 $m, n$ に対して $\int_0^\pi \sin mx \sin nx dx = 0$ であるため、交差項 $2ab \sin x \sin 2x$ などの積分はすべて $0$ になる。

また、同じく (1)(ア) より $\int_0^\pi \sin^2 mx dx = \frac{\pi}{2}$ であるから、以下が成り立つ。

$$\int_0^\pi a^2 \sin^2 x dx = \frac{\pi}{2} a^2, \quad \int_0^\pi b^2 \sin^2 2x dx = \frac{\pi}{2} b^2, \quad \int_0^\pi c^2 \sin^2 3x dx = \frac{\pi}{2} c^2$$

さらに、(1)(イ) の結果 $\int_0^\pi x \sin mx dx = \frac{(-1)^{m+1}\pi}{m}$ に $m=1, 2, 3$ を代入すると次のようになる。

$$\begin{aligned} \int_0^\pi x \sin x dx &= \pi \\ \int_0^\pi x \sin 2x dx &= -\frac{\pi}{2} \\ \int_0^\pi x \sin 3x dx &= \frac{\pi}{3} \end{aligned}$$

定数項となる $x^2$ の積分は以下の通りである。

$$\int_0^\pi x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^\pi = \frac{\pi^3}{3}$$

これらをまとめて $I$ を計算すると、次のように $a, b, c$ の2次式となる。

$$\begin{aligned} I &= \frac{\pi}{2} a^2 + \frac{\pi}{2} b^2 + \frac{\pi}{2} c^2 - 2a(\pi) - 2b\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 2c\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi^3}{3} \\ &= \frac{\pi}{2} a^2 - 2\pi a + \frac{\pi}{2} b^2 + \pi b + \frac{\pi}{2} c^2 - \frac{2\pi}{3} c + \frac{\pi^3}{3} \end{aligned}$$

各変数 $a, b, c$ について平方完成を行う。

$$\begin{aligned} I &= \frac{\pi}{2}(a^2 - 4a) + \frac{\pi}{2}(b^2 + 2b) + \frac{\pi}{2}\left(c^2 - \frac{4}{3}c\right) + \frac{\pi^3}{3} \\ &= \frac{\pi}{2}\left\{(a-2)^2 - 4\right\} + \frac{\pi}{2}\left\{(b+1)^2 - 1\right\} + \frac{\pi}{2}\left\{\left(c-\frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9}\right\} + \frac{\pi^3}{3} \\ &= \frac{\pi}{2}(a-2)^2 + \frac{\pi}{2}(b+1)^2 + \frac{\pi}{2}\left(c-\frac{2}{3}\right)^2 - 2\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{9} + \frac{\pi^3}{3} \end{aligned}$$

ここで、定数部分をまとめる。

$$- 2\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{9} = \frac{-36\pi - 9\pi - 4\pi}{18} = -\frac{49\pi}{18}$$

したがって、$I$ は次のように表される。

$$I = \frac{\pi}{2}(a-2)^2 + \frac{\pi}{2}(b+1)^2 + \frac{\pi}{2}\left(c-\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{\pi^3}{3} - \frac{49\pi}{18}$$

$a, b, c$ は実数であるから、$(a-2)^2 \geqq 0, (b+1)^2 \geqq 0, \left(c-\frac{2}{3}\right)^2 \geqq 0$ である。よって、$I$ が最小となるのは $a-2=0$ かつ $b+1=0$ かつ $c-\frac{2}{3}=0$ のときである。

解説

三角関数の直交性をテーマにした典型的な問題である。区間 $[0, \pi]$ や $[-\pi, \pi]$ における異なる周期のサイン波・コサイン波の積の積分が $0$ になるという性質は、フーリエ級数展開の基礎となる重要な概念である。 (2) で展開した式を積分する際、(1) で示した直交性により交差項がすべて消えるため、各係数 $a, b, c$ ごとに独立した2次関数として平方完成できるのがポイントである。計算量がやや多いため、符号や係数のミスには十分に注意したい。