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九州大学 2000年理系第9問解説

方針・初手

行列の基本変形（行基本変形）とその表現行列（基本行列）に関する問題である。基本行列を左から掛けることは、対応する行基本変形を行うことと同値であるという性質を用いて、連立1次方程式の掃き出し法（ガウスの消去法）の原理を考察する。連立方程式の同値変形が、可逆な行列を左から掛ける操作に対応することに気づくことがポイントとなる。

解法1

(1)

3次単位行列 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ とする。

行列 $P$ は $E$ の第1行の $-2$ 倍を第3行に加えた行列であるから、

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

となる。$QP = E$ となる行列 $Q$ は $P$ の逆行列 $P^{-1}$ である。 $P$ を左から掛ける操作は「第1行の $-2$ 倍を第3行に加える」ことであるから、逆の操作は「第1行の $2$ 倍を第3行に加える」ことである。したがって、

$$Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

(2)

行列 $R$ に左から $P$ を掛ける操作は、$R$ の第1行の $-2$ 倍を第3行に加える操作に等しい。よって、

$$S = PR = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 - 2a_1 & c_2 - 2a_2 & c_3 - 2a_3 & c_4 - 2a_4 \end{pmatrix}$$

(3)

$PAX = PB$ の両辺に左から、(1) で求めた行列 $Q$ を掛けると、

$$Q(PAX) = Q(PB)$$

行列の積の結合法則により、

$$(QP)AX = (QP)B$$

(1) より $QP = E$ であるから、

$$EAX = EB$$

単位行列の性質より、

$$AX = B$$

が成り立ち、示された。

(4)

連立1次方程式の係数行列を $A$、未知数の列ベクトルを $X$、定数項の列ベクトルを $B$ とすると、

$$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -3 & 4 & -5 \\ 6 & -5 & 4 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$$

$AX = B$ の両辺に左から $P$ を掛けると、$PAX = PB$ となる。これは、拡大係数行列 $(A \mid B)$ に左から $P$ を掛けること、すなわち $(A \mid B)$ の第1行の $-2$ 倍を第3行に加えることに等しい。

$$P(A \mid B) = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 & a \\ -3 & 4 & -5 & b \\ 6 - 2 \cdot 3 & -5 - 2 \cdot (-2) & 4 - 2 \cdot 1 & c - 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 & a \\ -3 & 4 & -5 & b \\ 0 & -1 & 2 & -2a + c \end{pmatrix}$$

したがって、この行列を係数および定数項にもつ連立1次方程式は、

$$\begin{cases} 3x - 2y + z = a \\ -3x + 4y - 5z = b \\ -y + 2z = -2a + c \end{cases}$$

(5)

(4) で得られた拡大係数行列に対し、さらに行基本変形を繰り返して簡約化していく。

第1行を第2行に加えると、

$$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 & a \\ 0 & 2 & -4 & a+b \\ 0 & -1 & 2 & -2a+c \end{pmatrix}$$

第2行を $\frac{1}{2}$ 倍すると、

$$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 & a \\ 0 & 1 & -2 & \frac{a+b}{2} \\ 0 & -1 & 2 & -2a+c \end{pmatrix}$$

第2行を第3行に加えると、

$$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 & a \\ 0 & 1 & -2 & \frac{a+b}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{a+b}{2} - 2a + c \end{pmatrix}$$

この行列に対応する連立1次方程式は、

$$\begin{cases} 3x - 2y + z = a \\ y - 2z = \frac{a+b}{2} \\ 0 = \frac{a+b}{2} - 2a + c \end{cases}$$

この連立1次方程式が解を持つためには、第3式の右辺が $0$ でなければならない。

$$\frac{a+b}{2} - 2a + c = 0 \iff -3a + b + 2c = 0$$

これが解を持つための条件である。

この条件が満たされるとき、実質的な方程式は以下の2つとなる。

$$\begin{cases} 3x - 2y + z = a \\ y - 2z = \frac{a+b}{2} \end{cases}$$

未知数3つに対して独立な方程式が2つであるため、解は無数に存在する。 $z = t$（$t$ は任意の実数）とおくと、第2式より

$$y = 2t + \frac{a+b}{2}$$

これを第1式に代入して $x$ について解く。

$$3x - 2\left(2t + \frac{a+b}{2}\right) + t = a$$

$$3x - 4t - (a+b) + t = a$$

$$3x = 3t + 2a + b$$

$$x = t + \frac{2a+b}{3}$$

したがって、解はすべて求まった。

解説

本問は、連立1次方程式の解法である「掃き出し法（ガウスの消去法）」と、その背景にある「行列の行基本変形と基本行列の乗算の対応」をテーマにした問題である。 (1) から (3) までの誘導によって、方程式に対する同値変形が、可逆な行列を左から掛ける操作によって表現されることが示されている。 (5) では、掃き出し法を進めた結果、係数行列の一部が零行（すべて $0$ の行）になった場合の処理が問われている。対応する定数項も $0$ にならなければ解が存在しないという「解の存在条件」と、自由度をもつ解をパラメータを用いて正しく表現できるかが問われる典型的な構成となっている。