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九州大学 1978年理系第3問解説

方針・初手

与えられた関係式 $Au = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を用いて、まずはベクトル $u$ の成分 $u_1, u_2$ を $\alpha$ の式で表すことが第一歩である。

求めた $u_1, u_2$ をもう一つの関係式 $Av = \begin{pmatrix} \frac{2}{u_1} \\ \frac{1}{u_2} \end{pmatrix}$ の右辺に代入する。そこから得られる式を用いて、成分 $v_1, v_2$ を連立方程式として処理し、目的である和 $v_1 + v_2$ を計算する。あるいは、行列 $A$ の逆行列を用いて直接 $v_1, v_2$ を求めてもよい。

解法1

関係式 $Au = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ より、

$$\begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ \alpha & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

行列の積を計算して成分を比較すると、以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} u_1 + \alpha u_2 = 1 & \cdots (1) \\ \alpha u_1 + u_2 = 1 & \cdots (2) \end{cases}$$

(1) から (2) を辺々引くと、

$$(1 - \alpha)u_1 - (1 - \alpha)u_2 = 0$$

$$(1 - \alpha)(u_1 - u_2) = 0$$

条件 $0 < \alpha < 1$ より $1 - \alpha \neq 0$ であるから、両辺を $1 - \alpha$ で割って

$$u_1 = u_2$$

これを (1) に代入すると、

$$(1 + \alpha)u_1 = 1$$

$\alpha > 0$ より $1 + \alpha \neq 0$ であるから、

$$u_1 = \frac{1}{1 + \alpha}$$

よって、$u_1 = u_2 = \frac{1}{1 + \alpha}$ となる。

次に、関係式 $Av = \begin{pmatrix} \frac{2}{u_1} \\ \frac{1}{u_2} \end{pmatrix}$ について考える。

求めた $u_1, u_2$ の値を右辺の各成分に代入すると、

$$\frac{2}{u_1} = 2(1 + \alpha), \quad \frac{1}{u_2} = 1 + \alpha$$

したがって、

$$\begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ \alpha & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1 + \alpha) \\ 1 + \alpha \end{pmatrix}$$

これを成分で表すと、

$$\begin{cases} v_1 + \alpha v_2 = 2(1 + \alpha) & \cdots (3) \\ \alpha v_1 + v_2 = 1 + \alpha & \cdots (4) \end{cases}$$

求める値は $v_1 + v_2$ であるため、(3) と (4) を辺々足し合わせる。

$$(1 + \alpha)v_1 + (1 + \alpha)v_2 = 3(1 + \alpha)$$

$$(1 + \alpha)(v_1 + v_2) = 3(1 + \alpha)$$

$1 + \alpha \neq 0$ であるから、両辺を $1 + \alpha$ で割って

$$v_1 + v_2 = 3$$

これは $\alpha$ を含まない値であり、$\alpha$ に無関係な定数であることが示された。

解法2

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ \alpha & 1 \end{pmatrix}$ の行列式 $|A|$ は、

$$|A| = 1 \cdot 1 - \alpha \cdot \alpha = 1 - \alpha^2$$

条件 $0 < \alpha < 1$ より $0 < \alpha^2 < 1$ であるから、$|A| \neq 0$ となり、行列 $A$ は逆行列 $A^{-1}$ をもつ。

$$A^{-1} = \frac{1}{1 - \alpha^2} \begin{pmatrix} 1 & -\alpha \\ -\alpha & 1 \end{pmatrix}$$

$Au = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛けると、

$$\begin{aligned} u &= A^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{1 - \alpha^2} \begin{pmatrix} 1 & -\alpha \\ -\alpha & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{(1 - \alpha)(1 + \alpha)} \begin{pmatrix} 1 - \alpha \\ 1 - \alpha \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{1 + \alpha} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

よって、$u_1 = \frac{1}{1 + \alpha}, u_2 = \frac{1}{1 + \alpha}$ である。

次に、$Av = \begin{pmatrix} \frac{2}{u_1} \\ \frac{1}{u_2} \end{pmatrix}$ の右辺に求めた $u_1, u_2$ を代入すると、

$$Av = \begin{pmatrix} 2(1 + \alpha) \\ 1 + \alpha \end{pmatrix} = (1 + \alpha) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

この両辺に左から $A^{-1}$ を掛けると、

$$\begin{aligned} v &= A^{-1} (1 + \alpha) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1 + \alpha}{1 - \alpha^2} \begin{pmatrix} 1 & -\alpha \\ -\alpha & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{1 - \alpha} \begin{pmatrix} 2 - \alpha \\ 1 - 2\alpha \end{pmatrix} \end{aligned}$$

したがって、各成分は $v_1 = \frac{2 - \alpha}{1 - \alpha}, v_2 = \frac{1 - 2\alpha}{1 - \alpha}$ となる。

これより、$v_1 + v_2$ を計算すると、

$$\begin{aligned} v_1 + v_2 &= \frac{2 - \alpha}{1 - \alpha} + \frac{1 - 2\alpha}{1 - \alpha} \\ &= \frac{3 - 3\alpha}{1 - \alpha} \\ &= \frac{3(1 - \alpha)}{1 - \alpha} \end{aligned}$$

$0 < \alpha < 1$ より $1 - \alpha \neq 0$ であるから、約分して

$$v_1 + v_2 = 3$$

これは $\alpha$ に無関係な定数であることが示された。

解説

行列の成分を書き下して連立方程式として扱うアプローチ（解法1）と、逆行列を用いてベクトルを直接求めるアプローチ（解法2）のいずれも有効な問題である。

解法1では、$u_1$ と $u_2$ に関する対称な連立方程式から直ちに $u_1 = u_2$ を見抜けるかがポイントとなる。また後半でも $v_1, v_2$ をそれぞれ個別に求める必要はなく、2式を足し合わせることで目的の $v_1 + v_2$ の固まりを一気に作り出せるため、計算量が少なく見通しが良い。

解法2のように逆行列を用いる手法は確実であるが、文字 $\alpha$ を含むため、逆行列が存在する条件（行列式 $|A| \neq 0$）を最初に必ず確認し、明記する必要がある。