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京都大学 2004年理系第4問解説

方針・初手

未知の2次正方行列 $X$ と、任意の2次正方行列 $Y$ をそれぞれ成分で置き、$AX - XB = Y$ を成分ごとの連立方程式に書き下す。得られた式が「任意の $Y$ の成分に対して解を持つ」ような条件を、各方程式の係数に着目して求めていく。

解法1

$X = \begin{pmatrix} x & y \ z & w \end{pmatrix}$、$Y = \begin{pmatrix} p & q \ r & s \end{pmatrix}$ とおく。このとき、

$$\begin{aligned} AX &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 2y \ x+z & y+w \end{pmatrix} \\ XB &= \begin{pmatrix} x & y \ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & 0 \ 0 & \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha x & \beta y \ \alpha z & \beta w \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であるから、$AX - XB = Y$ の成分を比較して整理すると、次の4つの式を得る。

$$\begin{cases} (2-\alpha)x = p & \cdots \text{①} \\ (2-\beta)y = q & \cdots \text{②} \\ x + (1-\alpha)z = r & \cdots \text{③} \\ y + (1-\beta)w = s & \cdots \text{④} \end{cases}$$

条件 $(*)$ が成り立つとは、「任意の $(p, q, r, s)$ に対して①〜④を同時に満たす $(x, y, z, w)$ が存在する」ことである。

①について：任意の $p$ に対して実数 $x$ が存在するための必要十分条件は $2-\alpha \neq 0$ すなわち $\alpha \neq 2$ である。このとき $x = \dfrac{p}{2-\alpha}$ と一意に定まる。

②について：任意の $q$ に対して実数 $y$ が存在するための必要十分条件は $2-\beta \neq 0$ すなわち $\beta \neq 2$ である。このとき $y = \dfrac{q}{2-\beta}$ と一意に定まる。

③について：$x$ はすでに定まっているため $(1-\alpha)z = r - x$ と変形できる。右辺 $r - x$ は $r$ が任意であるから任意の実数をとる。よって、任意の $r$ に対して実数 $z$ が存在するための必要十分条件は $1-\alpha \neq 0$ すなわち $\alpha \neq 1$ である。

④について：同様に $(1-\beta)w = s - y$ となる。任意の $s$ に対して実数 $w$ が存在するための必要十分条件は $1-\beta \neq 0$ すなわち $\beta \neq 1$ である。

以上より、すべての $(p, q, r, s)$ に対して解 $(x, y, z, w)$ が存在するための必要十分条件は

$$ \alpha \neq 1, 2 \quad \text{かつ} \quad \beta \neq 1, 2 $$

である。

解説

行列の方程式 $AX - XB = Y$ は、成分計算に持ち込むと変数が4つの連立1次方程式になる。本問では行列 $A$ が下三角行列、行列 $B$ が対角行列であるため、連立方程式が $x$ のみ、$y$ のみなど簡単な形に分離され、順次解いていける構造になっている。

大学数学（線形代数）の範囲になるが、$AX - XB = Y$ はシルベスター方程式と呼ばれ、任意の $Y$ に対して一意の解を持つ必要十分条件は「行列 $A$ の固有値と行列 $B$ の固有値に共通のものがないこと」として知られている。本問の場合、$A$ の固有値は $1, 2$、$B$ の固有値は $\alpha, \beta$ であるため、$\{1, 2\} \cap \{\alpha, \beta\} = \emptyset$ からただちに結論を導くことができる。