九州大学 2001年 理系 第5問 解説

方針・初手

順序統計量（最小値、最大値、中央値など）に関する確率・期待値の基本問題である。 (1) は具体的な要素を書き並べて状況を把握する。 (2) と (3) は最小値の確率 $P(X_1 = k) = P(X_1 \ge k) - P(X_1 \ge k+1)$ を用いる典型手法で計算できる。 (4) は極限の基本に忠実に、最大項でくくり出してはさみうちの原理を適用する。 (5) は最小値と最大値の期待値の和であるが、サイコロの目の対称性に気付けば計算を大幅に省略できる。

解法1

(1)

$n=7$ のとき、サイコロを $7$ 回振って出た目を昇順に並べたものが $X_1, X_2, \cdots, X_7$ である。 「$3$ の目が $3$ 回、$5$ の目が $2$ 回出た」とあるため、出た目の内訳は $\{3, 3, 3, 5, 5, a, b\}$ と書ける。ここで $a, b$ は $1, 2, 4, 6$ のいずれかである。

$a, b$ のうち、$2$ 以下の目の個数を $k$ $(0 \le k \le 2)$ とし、場合分けして $4$ 番目の値 $X_4$ を調べる。

(i) $k=0$ のとき

$a \ge 4$ かつ $b \ge 4$ であるから、出た目の中で $3$ は最小の $3$ つとなる。 したがって、昇順に並べると $X_1 = X_2 = X_3 = 3$ となり、$X_4$ 以降は $\{a, b, 5, 5\}$ を昇順に並べたものになる。 よって $X_4$ は $a, b, 5, 5$ のうちの最小値となる。 $a, b \in \{4, 6\}$ であるから、 $a=b=6$ のとき $X_4 = 5$ $a, b$ の少なくとも一方が $4$ のとき $X_4 = 4$

(ii) $k=1$ のとき

$a, b$ のうち一方が $1$ または $2$、他方が $4$ または $6$ である。 出た目の中で $2$ 以下のものは $1$ つだけであるから、$X_1 \in \{1, 2\}$ となる。 残りの目で最小のものは $3$ であり、これが $3$ 個あるため $X_2 = X_3 = X_4 = 3$ となる。 よって $X_4 = 3$ である。

(iii) $k=2$ のとき

$a, b$ はともに $1$ または $2$ である。 出た目の中で $2$ 以下のものは $2$ つであるから、$X_1, X_2 \in \{1, 2\}$ となる。 残りの目で最小のものは $3$ であり、これが $3$ 個あるため $X_3 = X_4 = X_5 = 3$ となる。 よって $X_4 = 3$ である。

(i), (ii), (iii) より、$X_4$ のとりうる値は $3, 4, 5$ である。

(2)

一般の $n$ について、$X_1$ は $n$ 回振って出た目の最小値である。 事象 $X_1 \ge k$ は「$n$ 回すべてで $k$ 以上の目が出る」ことと同値であるから、その確率は

$$P(X_1 \ge k) = \left( \frac{7-k}{6} \right)^n$$

となる。求める確率は、

$$P(X_1 = 2) = P(X_1 \ge 2) - P(X_1 \ge 3)$$

であるから、

$$P(X_1 = 2) = \left( \frac{5}{6} \right)^n - \left( \frac{4}{6} \right)^n = \left( \frac{5}{6} \right)^n - \left( \frac{2}{3} \right)^n$$

となる。

(3)

自然数値をとる確率変数 $X_1$ の期待値 $E(X_1)$ は、公式 $E(X_1) = \sum_{k=1}^6 P(X_1 \ge k)$ を用いて計算できる。

したがって、

$$\begin{aligned} E(X_1) &= \sum_{k=1}^6 \left( \frac{7-k}{6} \right)^n \\ &= \left( \frac{6}{6} \right)^n + \left( \frac{5}{6} \right)^n + \left( \frac{4}{6} \right)^n + \left( \frac{3}{6} \right)^n + \left( \frac{2}{6} \right)^n + \left( \frac{1}{6} \right)^n \\ &= 1 + \left( \frac{5}{6} \right)^n + \left( \frac{2}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{2} \right)^n + \left( \frac{1}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{6} \right)^n \end{aligned}$$

となる。

(4)

(3) の結果から、

$$E(X_1) - 1 = \left( \frac{5}{6} \right)^n + \left( \frac{4}{6} \right)^n + \left( \frac{3}{6} \right)^n + \left( \frac{2}{6} \right)^n + \left( \frac{1}{6} \right)^n$$

極限をとるために、右辺の最大項である $\left( \frac{5}{6} \right)^n$ でくくり出すと、

$$E(X_1) - 1 = \left( \frac{5}{6} \right)^n \left\{ 1 + \left( \frac{4}{5} \right)^n + \left( \frac{3}{5} \right)^n + \left( \frac{2}{5} \right)^n + \left( \frac{1}{5} \right)^n \right\}$$

ここで、$S_n = 1 + \left( \frac{4}{5} \right)^n + \left( \frac{3}{5} \right)^n + \left( \frac{2}{5} \right)^n + \left( \frac{1}{5} \right)^n$ とおく。 すべての $n \ge 1$ に対して、各項は正であり減少するため、

$$1 < S_n \le 5$$

が成り立つ。対数をとって整理すると、

$$\begin{aligned} \frac{1}{n} \log (E(X_1) - 1) &= \frac{1}{n} \log \left\{ \left( \frac{5}{6} \right)^n S_n \right\} \\ &= \log \frac{5}{6} + \frac{1}{n} \log S_n \end{aligned}$$

$1 < S_n \le 5$ より $0 < \frac{1}{n} \log S_n \le \frac{1}{n} \log 5$ であり、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log 5 = 0$ である。 はさみうちの原理により、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log S_n = 0$ となる。 したがって、求める極限は

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (E(X_1) - 1) = \log \frac{5}{6}$$

となる。

(5)

サイコロの目を表す確率変数 $Y$ について、$Y$ と $7-Y$ はともに $1$ から $6$ までの値を等確率でとるため、同一の確率分布に従う。 $n$ 回サイコロを振ったときの目を $Y_1, \cdots, Y_n$ とし、これを昇順に並べたものが $X_1, \cdots, X_n$ である。 これらを $7$ から引いた $7-Y_1, \cdots, 7-Y_n$ を昇順に並べたものは、元の目の降順に $7$ を引いたものと一致するため、$7 - X_n, \cdots, 7 - X_1$ となる。

このことから、最小値の分布は「最大値を $7$ から引いたものの分布」と一致し、$X_1$ と $7-X_n$ は同一の確率分布に従うことがわかる。 したがって、それらの期待値も等しくなり、

$$E(X_1) = E(7-X_n) = 7 - E(X_n)$$

が成り立つ。 ゆえに、

$$E(X_1 + X_n) = E(X_1) + E(X_n) = 7$$

となる。

解法2

(5) の別解（直接計算による方法）

$X_n$ は $n$ 回振って出た目の最大値である。 事象 $X_n \le k$ は「$n$ 回すべてで $k$ 以下の目が出る」ことと同値であるから、その確率は

$$P(X_n \le k) = \left( \frac{k}{6} \right)^n$$

である。したがって、$P(X_n = k) = P(X_n \le k) - P(X_n \le k-1)$ となる。 （ただし、便宜上 $P(X_n \le 0) = 0$ とする） $E(X_n)$ を計算すると、

$$\begin{aligned} E(X_n) &= \sum_{k=1}^6 k P(X_n = k) \\ &= \sum_{k=1}^6 k \left\{ \left( \frac{k}{6} \right)^n - \left( \frac{k-1}{6} \right)^n \right\} \end{aligned}$$

これを書き下して整理すると、

$$\begin{aligned} E(X_n) &= 1 \cdot \left\{ \left( \frac{1}{6} \right)^n - 0 \right\} + 2 \cdot \left\{ \left( \frac{2}{6} \right)^n - \left( \frac{1}{6} \right)^n \right\} + \cdots + 6 \cdot \left\{ \left( \frac{6}{6} \right)^n - \left( \frac{5}{6} \right)^n \right\} \\ &= 6 \cdot \left( \frac{6}{6} \right)^n - \left\{ \left( \frac{1}{6} \right)^n + \left( \frac{2}{6} \right)^n + \left( \frac{3}{6} \right)^n + \left( \frac{4}{6} \right)^n + \left( \frac{5}{6} \right)^n \right\} \\ &= 6 - \sum_{k=1}^5 \left( \frac{k}{6} \right)^n \end{aligned}$$

ここで、(3) の結果から $\sum_{k=1}^5 \left( \frac{k}{6} \right)^n = E(X_1) - 1$ であるため、

$$E(X_n) = 6 - (E(X_1) - 1) = 7 - E(X_1)$$

となる。 したがって、

$$E(X_1 + X_n) = E(X_1) + 7 - E(X_1) = 7$$

となる。

解説

順序統計量（確率変数の最大値・最小値など）についての非常に標準的で学習効果の高い問題である。 (3) の期待値の計算では、$E(X) = \sum k P(X=k)$ のまま計算しようとすると二項定理やシグマ計算が煩雑になるため、$E(X) = \sum P(X \ge k)$ の公式を利用するのがセオリーである。 (4) は極限の計算として基本事項であり、無限等比数列の極限で「公比の絶対値が最大の項でくくる」という定石に則っている。 (5) は、最大値と最小値の対称性（サイコロの目の裏表の対応）に気付くと一瞬で計算が終わる。入試数学において、対称性は計算量を劇的に削減する強力な道具であるため、解法1のアプローチをマスターしておきたい。計算で押し切る解法2も、総和の展開によって差分が打ち消し合う形（望遠鏡和）を作る良い練習になる。

答え

(1) $3, 4, 5$

(2) $\left( \frac{5}{6} \right)^n - \left( \frac{2}{3} \right)^n$

(3) $1 + \left( \frac{5}{6} \right)^n + \left( \frac{2}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{2} \right)^n + \left( \frac{1}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{6} \right)^n$

(4) $\log \frac{5}{6}$

(5) $7$