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九州大学 2012年理系第2問解説

方針・初手

与えられた行列の変換式を、列ベクトルを並べた行列の積として表すことで $A$、$B$ を直接求める。$A^2$、$B^2$ については、求めた $A$、$B$ に対してケーリー・ハミルトンの定理を適用すると見通しが良い。

後半の積の列については、$A^2 = E$、$B^2 = E$、$(AB)^3 = E$ という関係式を利用し、行列の積の長さ（次数）を下げるように変形していくことで、現れる行列の種類が有限個に絞られることを示す。

解法1

(1)

与えられた条件より、行列 $A$ は以下の関係を満たす。

$$A \begin{pmatrix} -3 & 7 \\ 5 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & -11 \end{pmatrix}$$

ここで、$\begin{pmatrix} -3 & 7 \\ 5 & -9 \end{pmatrix}$ の行列式は $(-3) \cdot (-9) - 7 \cdot 5 = -8 \neq 0$ であるため、逆行列をもつ。両辺の右からこの逆行列を掛けて $A$ を求める。

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & -11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 7 \\ 5 & -9 \end{pmatrix}^{-1}$$

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & -11 \end{pmatrix} \left( -\frac{1}{8} \begin{pmatrix} -9 & -7 \\ -5 & -3 \end{pmatrix} \right)$$

$$A = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & -11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$$

$$A = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 40 & 24 \\ -64 & -40 \end{pmatrix}$$

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix}$$

同様に、行列 $B$ についても以下の関係を満たす。

$$B \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & -11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -7 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}$$

$\begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & -11 \end{pmatrix}$ の行列式は $0 \cdot (-11) - 8 \cdot (-1) = 8 \neq 0$ であるため、逆行列をもつ。よって

$$B = \begin{pmatrix} -5 & -7 \\ 6 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & -11 \end{pmatrix}^{-1}$$

$$B = \begin{pmatrix} -5 & -7 \\ 6 & 10 \end{pmatrix} \left( \frac{1}{8} \begin{pmatrix} -11 & -8 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right)$$

$$B = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 48 & 40 \\ -56 & -48 \end{pmatrix}$$

$$B = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -7 & -6 \end{pmatrix}$$

次に $A^2$、$B^2$ を求める。ケーリー・ハミルトンの定理を用いる。行列 $A$ について、対角成分の和は $5 + (-5) = 0$、行列式は $5 \cdot (-5) - 3 \cdot (-8) = -1$ であるから、

$$A^2 - 0 \cdot A - E = O$$

$$A^2 = E$$

行列 $B$ について、対角成分の和は $6 + (-6) = 0$、行列式は $6 \cdot (-6) - 5 \cdot (-7) = -1$ であるから、

$$B^2 - 0 \cdot B - E = O$$

$$B^2 = E$$

(2)

まず、行列 $AB$ を計算する。

$$AB = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -7 & -6 \end{pmatrix}$$

$$AB = \begin{pmatrix} 30-21 & 25-18 \\ -48+35 & -40+30 \end{pmatrix}$$

$$AB = \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ -13 & -10 \end{pmatrix}$$

行列 $AB$ について、対角成分の和は $9 + (-10) = -1$、行列式は $9 \cdot (-10) - 7 \cdot (-13) = 1$ である。ケーリー・ハミルトンの定理より、

$$(AB)^2 - (-1)AB + 1 \cdot E = O$$

$$(AB)^2 + AB + E = O$$

両辺の左から $(AB - E)$ を掛けると、

$$(AB - E) \{ (AB)^2 + AB + E \} = O$$

$$(AB)^3 - E = O$$

したがって、$(AB)^3 = E$ であることが示された。

(3)

(1)、(2) の結果から、$A^2 = E$、$B^2 = E$、$(AB)^3 = E$ である。この性質を用いて、並んだ行列の積を簡単にする。

$(AB)^3 = E$ は $ABABAB = E$ と書ける。この両辺に右から順に $B$、$A$、$B$、$A$ を掛けていくと、以下の関係式が得られる。

$$ABABABB = EB \implies ABABA = B$$

$$ABABAA = BA \implies ABAB = BA$$

$$ABABB = BAB \implies ABA = BAB$$

$$ABAA = BABA \implies AB = BABA$$

行列 $A$ から始まる列に現れる行列を順に調べる。

1番目: $A$
2番目: $AB$
3番目: $ABA$
4番目: $ABAB = BA$
5番目: $ABABA = B$
6番目: $ABABAB = E$
7番目: $ABABABA = EA = A$

以降は周期6で $\{A, AB, ABA, BA, B, E\}$ を繰り返す。

行列 $B$ から始まる列に現れる行列を順に調べる。

1番目: $B$
2番目: $BA$
3番目: $BAB = ABA$
4番目: $BABA = AB$
5番目: $BABAB = A$ （$BABA = AB$ の両辺に右から $B$ を掛けて得られる）
6番目: $BABABA = AA = E$
7番目: $BABABAB = EB = B$

以降は周期6で $\{B, BA, ABA, AB, A, E\}$ を繰り返す。

したがって、これらの列に現れる行列は集合として一致し、$E, A, B, AB, BA, ABA$ の6種類に尽きる。これらを成分で表し、相異なることを確認する。

$$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix}$$

$$B = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -7 & -6 \end{pmatrix}$$

$$AB = \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ -13 & -10 \end{pmatrix}$$

$$BA = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -7 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & -7 \\ 13 & 9 \end{pmatrix}$$

$$ABA = (AB)A = \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ -13 & -10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & -8 \\ 15 & 11 \end{pmatrix}$$

（$BAB = ABA$ であるため、$BAB$ を計算しても同じ結果となる）

これら6つの行列はすべて成分が異なるため、互いに相異なる。

解説

行列の基本演算からケーリー・ハミルトンの定理、そして抽象的な積の周期性へと展開する総合問題である。

(1) では、複数のベクトルに対する変換を1つの行列方程式としてまとめる手法が定石である。個別に連立方程式を立てるよりも計算ミスを防ぎやすく、見通しが良い。

(2) では、$(AB)^3$ を直接計算するのではなく、$AB$ に対するケーリー・ハミルトンの定理から $(AB)^2 + AB + E = O$ を導き、$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ の因数分解の形を利用するのが鮮やかである。

(3) の背景には「群」の概念がある。$A^2 = E, B^2 = E, (AB)^3 = E$ という生成元の関係式は、正三角形の対称性などを表す「二面体群 $D_3$」と同じ構造（同型）をもっている。そのため、どのような順番で $A$ と $B$ を掛けても、全体として位数が6であるこの群の要素のいずれかに帰着するというのが本問の数学的な背景である。

答え

(1)

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -7 & -6 \end{pmatrix}, \quad A^2 = E, \quad B^2 = E$$

(2)

解説の通り（$AB$ のケーリー・ハミルトンの定理の式から導出される）。

(3)

以下の6つの行列。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -8 & -5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -7 & -6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ -13 & -10 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -10 & -7 \\ 13 & 9 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -11 & -8 \\ 15 & 11 \end{pmatrix}$$