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九州大学 1988年理系第1問解説

方針・初手

(1) 点 $Q$ が直線 $y=mx$ 上にあるための条件と、線分 $PQ$ が直線 $y=mx$ と直交するための条件から、$u', v'$ を $u, v$ で表す。
(2) (1) で求めた行列 $A$ を用いて、直接 $A^2$ の成分計算を行う。
(3) $B = A+E$ に対して $B^n$ を考える。数学的帰納法、または行列 $A$ と単位行列 $E$ が交換可能であることを利用した二項定理による展開が有効である。
(4) 直線 $y=ax$ 上の任意の点が $B$ による変換後も直線 $y=ax$ 上にあるような条件を立式し、定数 $a$ についての恒等式として解く。

解法1

(1)

点 $Q(u', v')$ は直線 $y=mx$ 上にあるため、次の等式が成り立つ。

$$v' = mu'$$

また、点 $P(u, v)$ を直線 $y=mx$ 上へ正射影した点が $Q(u', v')$ であるから、直線 $PQ$ は直線 $y=mx$ と直交する。直線 $y=mx$ の方向ベクトルは $(1, m)$ であり、直線 $PQ$ の方向ベクトルは $(u'-u, v'-v)$ である。直線 $y=mx$ は $m \neq 0$ より斜めの直線であり、これらが直交することから内積は $0$ となる。

$$1 \cdot (u' - u) + m(v' - v) = 0$$

$$u' + mv' = u + mv$$

この式に $v' = mu'$ を代入して整理する。

$$u' + m(mu') = u + mv$$

$$(1+m^2)u' = u + mv$$

$$u' = \frac{1}{1+m^2}u + \frac{m}{1+m^2}v$$

これを $v' = mu'$ に代入する。

$$v' = \frac{m}{1+m^2}u + \frac{m^2}{1+m^2}v$$

以上より、これを行列を用いて表すと次のようになる。

$$\begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{1+m^2} & \frac{m}{1+m^2} \\ \frac{m}{1+m^2} & \frac{m^2}{1+m^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & m^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$$

したがって、求める行列 $A$ は次のように定まる。

$$A = \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & m^2 \end{pmatrix}$$

(2)

(1) で求めた行列 $A$ に対して、$A^2$ を計算する。

$$A^2 = \left\{ \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & m^2 \end{pmatrix} \right\}^2$$

$$A^2 = \frac{1}{(1+m^2)^2} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & m^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & m^2 \end{pmatrix}$$

行列の積を計算する。

$$A^2 = \frac{1}{(1+m^2)^2} \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + m \cdot m & 1 \cdot m + m \cdot m^2 \\ m \cdot 1 + m^2 \cdot m & m \cdot m + m^2 \cdot m^2 \end{pmatrix}$$

$$A^2 = \frac{1}{(1+m^2)^2} \begin{pmatrix} 1+m^2 & m+m^3 \\ m+m^3 & m^2+m^4 \end{pmatrix}$$

各成分を $1+m^2$ でくくる。

$$A^2 = \frac{1}{(1+m^2)^2} \begin{pmatrix} 1+m^2 & m(1+m^2) \\ m(1+m^2) & m^2(1+m^2) \end{pmatrix}$$

$m$ は実数であるから $1+m^2 \neq 0$ であり、行列の各成分を $1+m^2$ で割ることができる。

$$A^2 = \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & m^2 \end{pmatrix}$$

よって、$A^2 = A$ が成り立つ。

(3)

数学的帰納法により、自然数 $n$ に対して $B^n = (2^n-1)A+E$ が成り立つことを証明する。

(I) $n=1$ のとき

左辺は $B^1 = A+E$ となる。右辺は $(2^1-1)A+E = A+E$ となる。よって、両辺は一致し $n=1$ のとき成り立つ。

(II) $n=k$ ($k$ は自然数) のとき、$B^k = (2^k-1)A+E$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のときを考えると、$B^{k+1} = B^k B$ であるから、仮定を用いて次のように展開できる。

$$B^{k+1} = \left\{ (2^k-1)A+E \right\} (A+E)$$

$$B^{k+1} = (2^k-1)A^2 + (2^k-1)A + A + E$$

(2) で示した $A^2 = A$ を用いる。

$$B^{k+1} = (2^k-1)A + (2^k-1)A + A + E$$

$$B^{k+1} = (2^k - 1 + 2^k - 1 + 1)A + E$$

$$B^{k+1} = (2 \cdot 2^k - 1)A + E$$

$$B^{k+1} = (2^{k+1} - 1)A + E$$

したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(I), (II) より、すべての自然数 $n$ に対して $B^n = (2^n-1)A+E$ が成り立つ。

(4)

直線 $y=ax$ 上の任意の点 $(t, at)$ が、行列 $B$ で表される1次変換によって点 $(X, Y)$ に移るとする。

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = B \begin{pmatrix} t \\ at \end{pmatrix}$$

$B = A+E$ であるから、次のように分解できる。

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = (A+E) \begin{pmatrix} t \\ at \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} t \\ at \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t \\ at \end{pmatrix}$$

ここで、第1項の計算を行う。

$$A \begin{pmatrix} t \\ at \end{pmatrix} = \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & m^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ at \end{pmatrix}$$

$$A \begin{pmatrix} t \\ at \end{pmatrix} = \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} t+mat \\ mt+m^2at \end{pmatrix}$$

$$A \begin{pmatrix} t \\ at \end{pmatrix} = \frac{t(1+ma)}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$$

これを元の式に代入して $X, Y$ を求める。

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \frac{t(1+ma)}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix}$$

$X$ 成分を計算する。

$$X = t \left( \frac{1+ma}{1+m^2} + 1 \right) = t \frac{1+ma+1+m^2}{1+m^2} = t \frac{m^2+ma+2}{1+m^2}$$

$Y$ 成分を計算する。

$$Y = t \left( \frac{m(1+ma)}{1+m^2} + a \right) = t \frac{m(1+ma) + a(1+m^2)}{1+m^2} = t \frac{2m^2a+m+a}{1+m^2}$$

変換後の点 $(X, Y)$ が直線 $y=ax$ 上にあるためには、任意の実数 $t$ に対して $Y = aX$ が成り立てばよい。

$$t \frac{2m^2a+m+a}{1+m^2} = a \left( t \frac{m^2+ma+2}{1+m^2} \right)$$

これが $t$ についての恒等式となるため、$t$ の係数が等しくなければならない。

$$\frac{2m^2a+m+a}{1+m^2} = a \frac{m^2+ma+2}{1+m^2}$$

両辺に $1+m^2$ ($\neq 0$) を掛けて整理する。

$$2m^2a+m+a = am^2+ma^2+2a$$

$$ma^2 + (m^2-1)a - m = 0$$

左辺を因数分解する。

$$(a - m)(ma + 1) = 0$$

$m \neq 0$ であるから、これを解くと $a$ の値が定まる。

$$a = m, \quad -\frac{1}{m}$$

なお、$a=m$ のとき $X = 2t$ であり、$a=-\frac{1}{m}$ のとき $X = t$ となる。いずれの場合も $t$ がすべての実数を動くとき $X$ もすべての実数を動くため、直線全体が1点に潰れることなく、直線 $y=ax$ 全体へうつされることが確認できる。

解法2

ここでは (1), (3), (4) の別解を示す。

(1)

直線 $l : y=mx$ の方向ベクトルを定まる。

$$\vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$$

点 $P$ の位置ベクトル $\vec{p} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$ の、直線 $l$ への正射影ベクトルが $\vec{q} = \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix}$ である。正射影ベクトルは内積を用いて次のように表される。

$$\vec{q} = \frac{\vec{p} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|^2} \vec{d}$$

ここで、内積と大きさの2乗はそれぞれ以下のようになる。

$$\vec{p} \cdot \vec{d} = u + mv$$

$$|\vec{d}|^2 = 1^2 + m^2 = 1+m^2$$

これらを公式に代入する。

$$\begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} = \frac{u + mv}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} = \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} u+mv \\ mu+m^2v \end{pmatrix}$$

これを行列の積の形で表す。

$$\begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} = \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & m^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$$

よって、求める行列 $A$ は次のように得られる。

$$A = \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & m^2 \end{pmatrix}$$

(3)

行列 $A$ と単位行列 $E$ は交換可能 ($AE = EA = A$) であるから、二項定理を用いて $(A+E)^n$ を展開できる。

$$B^n = (A+E)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\text{C}_k A^k E^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} {}_n\text{C}_k A^k$$

(2) より $A^2 = A$ であるため、自然数 $k$ ($k \ge 1$) に対して $A^k = A$ となる。和の $k=0$ の項を分離して計算する。

$$B^n = {}_n\text{C}_0 A^0 + \sum_{k=1}^{n} {}_n\text{C}_k A^k$$

$$B^n = E + \left( \sum_{k=1}^{n} {}_n\text{C}_k \right) A$$

二項定理より $\sum_{k=0}^{n} {}_n\text{C}_k = 2^n$ であるから、$\sum_{k=1}^{n} {}_n\text{C}_k = 2^n - 1$ となる。したがって、次の等式が成り立つ。

$$B^n = (2^n - 1)A + E$$

(4)

行列 $A$ は直線 $y=mx$ への正射影を表すため、幾何学的な意味から次の性質をもつ。

直線 $y=mx$ に平行な方向ベクトル $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ を正射影すると自分自身になる。すなわち $A\vec{v_1} = \vec{v_1}$ である。
直線 $y=mx$ に垂直な方向ベクトル $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1/m \end{pmatrix}$ を正射影すると原点になる。すなわち $A\vec{v_2} = \vec{0}$ である。

1次変換 $B = A+E$ によって直線 $y=ax$ がそれ自身にうつる条件は、その方向ベクトル $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix}$ が定数 $k \neq 0$ を用いて $B\vec{u} = k\vec{u}$ を満たすこと（すなわち固有ベクトルとなること）である。

$$B\vec{u} = (A+E)\vec{u} = A\vec{u} + \vec{u}$$

これが $k\vec{u}$ となるためには、$A\vec{u} = (k-1)\vec{u}$ となる必要がある。これは、$\vec{u}$ が行列 $A$ の固有ベクトルであることを意味する。 $A$ の固有ベクトルが示す方向は、前述の通り $\vec{v_1}$ (平行) と $\vec{v_2}$ (垂直) の方向のみである。

(i) $\vec{u}$ が $\vec{v_1}$ と平行なとき直線の傾きは一致するため $a = m$ である。このとき $B\vec{u} = A\vec{u}+\vec{u} = \vec{u}+\vec{u} = 2\vec{u}$ となり、直線上の点は原点からの距離が2倍になるが、全体として同じ直線上にうつる。

(ii) $\vec{u}$ が $\vec{v_2}$ と平行なとき直線の傾きは一致するため $a = -\frac{1}{m}$ である。このとき $B\vec{u} = A\vec{u}+\vec{u} = \vec{0}+\vec{u} = \vec{u}$ となり、直線上の点は動かないため、全体として同じ直線にうつる。

以上より、求める定数は $a = m, -\frac{1}{m}$ となる。

解説

正射影をテーマにした行列の典型的な問題である。 (1) は幾何学的な条件（直交・直線上の点）を地道に数式化するか、正射影ベクトルの公式に当てはめることで解ける。 (2) は単なる成分計算の問題であるが、正射影を2回行っても1回目の結果と変わらないという幾何学的性質（射影行列の性質 $A^2=A$）を確認する意味をもつ。 (3) は $A^2=A$ となる行列の累乗計算における定石であり、数学的帰納法か二項定理のいずれかを用いることで見通しよく証明できる。 (4) は変換後の軌跡に関する問題であり、パラメータ $t$ を用いて立式し、恒等式として処理するのが確実である。一方で、行列がもつ幾何学的な意味（固有値・固有ベクトル）に気づけば、解法2のように計算を大幅に省略して直感的に解くことも可能である。