九州大学 2012年 理系 第1問 解説

方針・初手

与えられた円 $x^2 + (y-1)^2 = 4$ の中心は $(0, 1)$、半径は $2$ である。この円が囲む領域は $x$ 軸（$y=0$）と交わるため、領域が回転軸をまたぐことに注意する。

回転軸をまたぐ図形を回転させる場合、回転軸で折り返した図形がどうなるかを考えるのが定石である。本問では、$x$ 軸より下の部分を折り返すと、$x$ 軸より上の部分に完全に含まれる。したがって、$y \geqq 0$ の領域だけを $x$ 軸のまわりに回転させた立体の体積を求めればよい。

解法1では、$x$ 軸に垂直な平面でスライスする一般的な方法（円盤・ドーナツ型の断面積を積分する方法）を示す。解法2では、計算量が減る円柱殻法（バームクーヘン積分）を用いる別解を示す。

解法1

円の方程式 $x^2 + (y-1)^2 = 4$ を $y$ について解くと、

$$ y = 1 \pm \sqrt{4-x^2} \quad (-2 \leqq x \leqq 2) $$

となる。円の上半分の境界を $y_1 = 1 + \sqrt{4-x^2}$、下半分の境界を $y_2 = 1 - \sqrt{4-x^2}$ とおく。

領域が $y \leqq 0$ となる条件は $y_2 \leqq 0$ より、

$$ 1 - \sqrt{4-x^2} \leqq 0 \iff \sqrt{4-x^2} \geqq 1 \iff 4-x^2 \geqq 1 \iff x^2 \leqq 3 $$

すなわち、$-\sqrt{3} \leqq x \leqq \sqrt{3}$ である。 このとき、$y \leqq 0$ の領域を $x$ 軸で折り返した境界は $y = |y_2| = \sqrt{4-x^2} - 1$ となるが、

$$ y_1 - |y_2| = (1 + \sqrt{4-x^2}) - (\sqrt{4-x^2} - 1) = 2 > 0 $$

であるため、折り返した領域はつねに $y \geqq 0$ の領域に完全に含まれる。 したがって、求める体積 $V$ は、$y \geqq 0$ の領域を $x$ 軸のまわりに回転させた立体の体積に等しい。

$y \geqq 0$ の領域を $x$ 軸に垂直な平面で切断したときの断面積 $S(x)$ は、以下のようになる。

(i) $-\sqrt{3} \leqq x \leqq \sqrt{3}$ のとき $0 \leqq y \leqq y_1$ を回転させるため、断面は半径 $y_1$ の円となる。

$$ S(x) = \pi y_1^2 $$

(ii) $-2 \leqq x < -\sqrt{3}$ または $\sqrt{3} < x \leqq 2$ のとき $y_2 \leqq y \leqq y_1$ を回転させるため、断面は外径 $y_1$、内径 $y_2$ のドーナツ型となる。

$$ S(x) = \pi (y_1^2 - y_2^2) $$

図形の対称性（$y$ 軸対称）を考慮すると、求める体積 $V$ は次のように立式できる。

$$ V = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \pi y_1^2 dx + 2 \int_{\sqrt{3}}^{2} \pi (y_1^2 - y_2^2) dx $$

ここで、$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \pi y_1^2 dx + 2 \int_{\sqrt{3}}^{2} \pi y_1^2 dx = \int_{-2}^{2} \pi y_1^2 dx$ であることを用いると、式は次のように簡略化できる。

$$ V = \int_{-2}^{2} \pi y_1^2 dx - 2 \int_{\sqrt{3}}^{2} \pi y_2^2 dx $$

それぞれの積分を計算する。まず、第1項について、

$$ y_1^2 = (1 + \sqrt{4-x^2})^2 = 5 - x^2 + 2\sqrt{4-x^2} $$

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{2} \pi y_1^2 dx &= \pi \int_{-2}^{2} (5 - x^2 + 2\sqrt{4-x^2}) dx \\ &= 2\pi \int_{0}^{2} (5 - x^2) dx + 2\pi \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx \\ &= 2\pi \left[ 5x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} + 2\pi \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 \right) \\ &= 2\pi \left( 10 - \frac{8}{3} \right) + 4\pi^2 \\ &= \frac{44}{3}\pi + 4\pi^2 \end{aligned} $$

次に、第2項について、

$$ y_2^2 = (1 - \sqrt{4-x^2})^2 = 5 - x^2 - 2\sqrt{4-x^2} $$

$$ \int_{\sqrt{3}}^{2} \pi y_2^2 dx = \pi \int_{\sqrt{3}}^{2} (5 - x^2) dx - 2\pi \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^2} dx $$

前半の積分は、

$$ \int_{\sqrt{3}}^{2} (5 - x^2) dx = \left[ 5x - \frac{x^3}{3} \right]_{\sqrt{3}}^{2} = \left( 10 - \frac{8}{3} \right) - \left( 5\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{22}{3} - 4\sqrt{3} $$

後半の積分 $\int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$ は、$x = 2\sin\theta$ と置換する。 $dx = 2\cos\theta d\theta$ であり、$x$ が $\sqrt{3} \to 2$ のとき、$\theta$ は $\frac{\pi}{3} \to \frac{\pi}{2}$ となる。

$$ \begin{aligned} \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^2} dx &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} \cdot 2\cos\theta d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2\theta d\theta \\ &= 2 \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) d\theta \\ &= 2 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 2 \left\{ \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \right\} \\ &= \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

よって、第2項の積分の値は、

$$ \begin{aligned} \int_{\sqrt{3}}^{2} \pi y_2^2 dx &= \pi \left( \frac{22}{3} - 4\sqrt{3} \right) - 2\pi \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ &= \frac{22}{3}\pi - 4\sqrt{3}\pi - \frac{2}{3}\pi^2 + \sqrt{3}\pi \\ &= \frac{22}{3}\pi - 3\sqrt{3}\pi - \frac{2}{3}\pi^2 \end{aligned} $$

以上より、求める体積 $V$ は、

$$ \begin{aligned} V &= \left( \frac{44}{3}\pi + 4\pi^2 \right) - 2 \left( \frac{22}{3}\pi - 3\sqrt{3}\pi - \frac{2}{3}\pi^2 \right) \\ &= \frac{44}{3}\pi + 4\pi^2 - \frac{44}{3}\pi + 6\sqrt{3}\pi + \frac{4}{3}\pi^2 \\ &= \frac{16}{3}\pi^2 + 6\sqrt{3}\pi \end{aligned} $$

解法2

円柱殻法（バームクーヘン積分）を用いて解く。 求める体積 $V$ は、$y \geqq 0$ における領域を $x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積に等しい。

$x^2 + (y-1)^2 \leqq 4$ を $x$ について解くと、$-\sqrt{4 - (y-1)^2} \leqq x \leqq \sqrt{4 - (y-1)^2}$ であるから、高さ $y$ における領域の $x$ 方向の幅は $2\sqrt{4 - (y-1)^2}$ となる。 円の上端は $y = 3$ であるから、これを $y$ 軸に沿って積分すると、

$$ V = \int_{0}^{3} 2\pi y \cdot 2\sqrt{4 - (y-1)^2} dy = 4\pi \int_{0}^{3} y\sqrt{4 - (y-1)^2} dy $$

$t = y - 1$ と置換すると、$dy = dt$ であり、$y$ が $0 \to 3$ のとき、$t$ は $-1 \to 2$ となる。

$$ \begin{aligned} V &= 4\pi \int_{-1}^{2} (t+1)\sqrt{4-t^2} dt \\ &= 4\pi \int_{-1}^{2} t\sqrt{4-t^2} dt + 4\pi \int_{-1}^{2} \sqrt{4-t^2} dt \end{aligned} $$

第1項について、

$$ \int_{-1}^{2} t\sqrt{4-t^2} dt = \left[ -\frac{1}{3}(4-t^2)^{\frac{3}{2}} \right]_{-1}^{2} = 0 - \left( -\frac{1}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}} \right) = \sqrt{3} $$

第2項の積分 $\int_{-1}^{2} \sqrt{4-t^2} dt$ は、$t = 2\sin\theta$ と置換して求める。 $dt = 2\cos\theta d\theta$ であり、$t$ が $-1 \to 2$ のとき、$\theta$ は $-\frac{\pi}{6} \to \frac{\pi}{2}$ となる。

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{2} \sqrt{4-t^2} dt &= \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} \cdot 2\cos\theta d\theta \\ &= 4 \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta \\ &= 2 \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) d\theta \\ &= 2 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 2 \left\{ \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \right\} \\ &= 2 \left( \frac{2}{3}\pi + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \\ &= \frac{4}{3}\pi + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

これらを代入して、求める体積 $V$ は、

$$ \begin{aligned} V &= 4\pi \left( \sqrt{3} + \frac{4}{3}\pi + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ &= 4\pi \left( \frac{4}{3}\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) \\ &= \frac{16}{3}\pi^2 + 6\sqrt{3}\pi \end{aligned} $$

解説

回転軸をまたぐ図形の回転体の体積を求める典型問題である。回転軸（本問では $x$ 軸）で領域を折り返したとき、折り返された部分がもう一方の領域に完全に含まれるか、あるいははみ出すかを確認することが最大のポイントとなる。本問のように完全に含まれる場合は、単純に $y \geqq 0$ の部分のみを回転させたものとして計算すればよい。

解法1のようなスライス法は、断面の形状（円盤かドーナツ型か）が途中で切り替わるため、積分区間の分割や被積分関数の立式がやや煩雑になる。一方で、解法2で示した円柱殻法（バームクーヘン積分）を用いると、$y$ の範囲全体を1つの式で積分できるため、計算量が劇的に減少し、計算ミスのリスクも減らすことができる。難関大の体積問題では円柱殻法が非常に強力な武器となるため、習熟しておくことが望ましい。

答え

$$ \frac{16}{3}\pi^2 + 6\sqrt{3}\pi $$