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東京工業大学 2012年理系第5問解説

方針・初手

与えられた条件「原点 $O$ と異なる任意の2点 $P, Q$ に対して $\frac{OP'}{OP} = \frac{OQ'}{OQ}$ が成り立つ」は、任意の点 $X$ について変換前後の原点からの距離の比 $\frac{OX'}{OX}$ が一定値をとることを意味する。まずはこの一定値を定数でおき、基本ベクトルなど扱いやすい座標を代入して各成分の関係式を導く。

(2)では、具体的な座標から距離の比（拡大率）が求まる。(1)で得た関係式に加えて、内積に関する条件（直交条件）も導出すると、未知数 $a, b, c, d$ に関する連立方程式に帰着できる。また、距離の比が一定である変換が「原点中心の回転」または「折り返し」を伴う相似変換であるという幾何学的な性質を利用すると、計算量を大幅に減らすことができる。

解法1

(1) 条件より、原点と異なる任意の点 $X$ に対し $\frac{OX'}{OX}$ は一定の値をとる。この定数を $k$ ($k > 0$) とおくと、位置ベクトル $\vec{x} \neq \vec{0}$ に対して、

$$ |A\vec{x}| = k|\vec{x}| $$

が常に成り立つ。

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を代入すると、

$$ A\vec{x} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} $$

$$ \left| \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} \right| = k \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right| $$

$$ \sqrt{a^2 + c^2} = k \implies a^2 + c^2 = k^2 $$

次に、$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を代入すると、

$$ A\vec{x} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} $$

$$ \left| \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} \right| = k \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right| $$

$$ \sqrt{b^2 + d^2} = k \implies b^2 + d^2 = k^2 $$

よって、以上の結果から、

$$ a^2 + c^2 = b^2 + d^2 $$

が成り立つことが示された。

(2) 点 $P(1, \sqrt{3})$ が $P'(-4, 0)$ に移ることから、それぞれの原点からの距離は、

$$ OP = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 $$

$$ OP' = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = 4 $$

したがって、(1)における定数 $k$ は $k = \frac{4}{2} = 2$ と求まる。 (1)の結果と合わせて、

$$ a^2 + c^2 = b^2 + d^2 = 4 \quad \cdots ① $$

ここで、任意の $\vec{x}$ に対して $|A\vec{x}|^2 = 4|\vec{x}|^2$ が成り立つことに着目し、$\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を代入すると、

$$ A\vec{x} = \begin{pmatrix} a + b \\ c + d \end{pmatrix} $$

であるから、

$$ (a + b)^2 + (c + d)^2 = 4(1^2 + 1^2) $$

$$ (a^2 + c^2) + (b^2 + d^2) + 2(ab + cd) = 8 $$

①を代入して整理すると、

$$ 4 + 4 + 2(ab + cd) = 8 \implies ab + cd = 0 \quad \cdots ② $$

また、点 $(1, \sqrt{3})$ が $(-4, 0)$ に移るという条件から、

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ a + \sqrt{3}b = -4 \quad \cdots ③ $$

$$ c + \sqrt{3}d = 0 \quad \cdots ④ $$

④より $c = -\sqrt{3}d$。これを②に代入して、

$$ ab + (-\sqrt{3}d)d = 0 \implies ab = \sqrt{3}d^2 \quad \cdots ⑤ $$

①より $d^2 = 4 - b^2$ であるため、これを⑤に代入すると、

$$ ab = \sqrt{3}(4 - b^2) $$

さらに、③より $a = -4 - \sqrt{3}b$ となるため、これを上式に代入する。

$$ (-4 - \sqrt{3}b)b = \sqrt{3}(4 - b^2) $$

$$ -4b - \sqrt{3}b^2 = 4\sqrt{3} - \sqrt{3}b^2 $$

$$ -4b = 4\sqrt{3} \implies b = -\sqrt{3} $$

これを③に代入して、

$$ a = -4 - \sqrt{3}(-\sqrt{3}) = -4 + 3 = -1 $$

$b = -\sqrt{3}$ を①の $b^2 + d^2 = 4$ に代入して、

$$ (-\sqrt{3})^2 + d^2 = 4 \implies d^2 = 1 \implies d = \pm 1 $$

$c = -\sqrt{3}d$ であるから、

(i)

$d = 1$ のとき、$c = -\sqrt{3}$

(ii)

$d = -1$ のとき、$c = \sqrt{3}$

これらは①の $a^2 + c^2 = 4$ （$(-1)^2 + (\mp\sqrt{3})^2 = 4$）を満たしている。以上より、求める行列 $A$ は、

$$ A = \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix} $$

解法2

(2) 原点と任意の点の距離を $k$ 倍（本問では $OP=2, OP'=4$ より $k=2$）にする1次変換は、原点中心の相似変換であり、回転移動、あるいは折り返しを伴う回転移動のいずれかとして表される。したがって、実数 $\theta$ を用いて、行列 $A$ は次の2つのいずれかの形にかける。

$$ A = 2\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad A = 2\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} $$

ここで、$u = 2\cos\theta, v = 2\sin\theta$ とおくと、$u^2 + v^2 = 4$ であり、

$$ A = \begin{pmatrix} u & -v \\ v & u \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad A = \begin{pmatrix} u & v \\ v & -u \end{pmatrix} $$

と表せる。

(i)

$A = \begin{pmatrix} u & -v \\ v & u \end{pmatrix}$ のとき

条件より、

$$ \begin{pmatrix} u & -v \\ v & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ u - \sqrt{3}v = -4 $$

$$ v + \sqrt{3}u = 0 $$

第2式より $v = -\sqrt{3}u$。これを第1式に代入すると、

$$ u - \sqrt{3}(-\sqrt{3}u) = -4 \implies 4u = -4 \implies u = -1 $$

このとき $v = \sqrt{3}$ であり、これらは $u^2 + v^2 = 4$ を満たす。よって、

$$ A = \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix} $$

(ii)

$A = \begin{pmatrix} u & v \\ v & -u \end{pmatrix}$ のとき

条件より、

$$ \begin{pmatrix} u & v \\ v & -u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ u + \sqrt{3}v = -4 $$

$$ v - \sqrt{3}u = 0 $$

第2式より $v = \sqrt{3}u$。これを第1式に代入すると、

$$ u + \sqrt{3}(\sqrt{3}u) = -4 \implies 4u = -4 \implies u = -1 $$

このとき $v = -\sqrt{3}$ であり、これらは $u^2 + v^2 = 4$ を満たす。よって、

$$ A = \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} $$

以上より、求める行列 $A$ は、

$$ A = \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix} $$

解説

行列による1次変換が「相似変換（距離を一定の割合で変化させる変換）」になっていることを題材とした問題である。代数的にゴリ押しで解くことも十分可能ですが、$a^2+c^2=k^2$ や $b^2+d^2=k^2$ に加え、基本ベクトル以外の適当なベクトル（例えば $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$）を代入して $ab+cd=0$ という直交条件を引き出せるかが計算の明暗を分ける。

さらに俯瞰すると、解法2で示したように「相似変換の表現行列は2パターンに絞られる」という図形的背景を知っていると、連立方程式が劇的に簡単になる。複素数平面における $z \mapsto \alpha z$ および $z \mapsto \alpha \bar{z}$ と対応させて理解しておくとよいでしょう。