九州大学 2018年 理系 第1問 解説

方針・初手

動点 $P$ の座標を文字で置き、直線 $AP$ 上の点の座標をパラメータを用いて表す。これが平面 $x=d$ と交わるという条件からパラメータを消去し、交点の座標が満たす関係式とその変域を求める。

解法1

点 $P$ は $xy$ 平面上の双曲線 $C$ 上の点であるから、$P(p, q, 0)$ と置く。 条件より $P$ は $x^2 - y^2 = 1$ かつ $x \geqq 1$ を満たすので、

$$ p^2 - q^2 = 1 \quad (p \geqq 1) $$

が成り立つ。 直線 $AP$ 上の点 $Q$ は、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OP} $$

と表される。$A(0, 0, 1)$ であるから、点 $Q$ の座標は

$$ Q(tp, tq, 1-t) $$

となる。 点 $Q$ が平面 $x=d$ と直線 $AP$ の交点であるとき、$Q$ の $x$ 座標は $d$ であるから、

$$ tp = d $$

が成り立つ。 問題の条件より $d > 0$ であり、点 $P$ の条件より $p \geqq 1 > 0$ であるため、$tp = d$ を満たすには $t > 0$ でなければならない。 よって $p = \frac{d}{t}$ となり、これを $p \geqq 1$ に代入すると、

$$ \frac{d}{t} \geqq 1 $$

$t > 0$ であるから、両辺に $t$ を掛けて整理すると、

$$ 0 < t \leqq d $$

を得る。 交点 $Q$ の平面 $x=d$ 上における座標を $(d, y, z)$ とすると、

$$ \begin{cases} y = tq \\ z = 1 - t \end{cases} $$

である。第2式より $t = 1 - z$ となり、これを $0 < t \leqq d$ に代入すると、

$$ 0 < 1 - z \leqq d $$

$$ 1 - d \leqq z < 1 $$

となる。 さらに、$p = \frac{d}{t}, q = \frac{y}{t}$ を $p^2 - q^2 = 1$ に代入すると、

$$ \left(\frac{d}{t}\right)^2 - \left(\frac{y}{t}\right)^2 = 1 $$

両辺に $t^2$ を掛けて整理すると、

$$ d^2 - y^2 = t^2 $$

これに $t = 1 - z$ を代入すると、

$$ d^2 - y^2 = (1 - z)^2 $$

$$ y^2 + (z - 1)^2 = d^2 $$

が得られる。 点 $Q$ は平面 $x=d$ 上の点であるから、求める軌跡の方程式とその変域が求まった。

解説

空間座標における軌跡の基本問題である。動点 $P$ を文字で設定し、直線上の点を媒介変数で表してから、平面の条件を代入して媒介変数を消去するという定石通りの手順で完答できる。 本問で最も注意すべきは軌跡の存在範囲である。双曲線の一部を切り取った条件 $x \geqq 1$ が、直線の媒介変数 $t$ の範囲を制限し、最終的に交点の $z$ 座標の範囲を決定することを見落とさず、同値変形を丁寧に追う必要がある。

答え

平面 $x=d$ 上の円 $y^2 + (z - 1)^2 = d^2$ のうち、$1 - d \leqq z < 1$ を満たす部分。