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九州大学 2002年理系第1問解説

方針・初手

(1)は、$x$ と $y$ の式から $e^t$ と $e^{-t}$ を消去することで、軌跡の方程式を求める。定義域に注意する。
(2)は、曲線 $C$ を定積分することで面積を計算する。その際、積分変数を $x$ から $t$ に置換積分するとスムーズに計算できる。図形の面積関係を把握するため、各領域を三角形や台形と定積分の差として表す。
(3)は、(2)で求めた $A(t) - S(t)$ を $t$ の関数とみなし、微分して増減表を作成し最大値を求める。

解法1

(1)

与えられた式より、以下の2式が成り立つ。

$$ x = \frac{e^t - e^{-t}}{2} $$

$$ y = \frac{e^t + e^{-t}}{2} $$

両辺をそれぞれ2乗して差をとると、

$$ \begin{aligned} y^2 - x^2 &= \left( \frac{e^t + e^{-t}}{2} \right)^2 - \left( \frac{e^t - e^{-t}}{2} \right)^2 \\ &= \frac{e^{2t} + 2 + e^{-2t}}{4} - \frac{e^{2t} - 2 + e^{-2t}}{4} \\ &= 1 \end{aligned} $$

したがって、$y^2 = x^2 + 1$ を得る。ここで、$t \geqq 0$ のとき $e^t \geqq 1$ かつ $0 < e^{-t} \leqq 1$ であるから、

$$ x = \frac{e^t - e^{-t}}{2} \geqq 0 $$

$$ y = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \geqq 1 $$

となる。$y \geqq 1$ であるから、$y^2 = x^2 + 1$ より $y = \sqrt{x^2 + 1}$ と表せる。以上より、求める関係式は以下のようになる。

$$ y = \sqrt{x^2 + 1} \quad (x \geqq 0) $$

(2)

点 $P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $Q(x, 0)$ とする。曲線 $C$：$y = \sqrt{x^2 + 1} \ (x \geqq 0)$ と $x$ 軸、$y$ 軸、および直線 $x = x$ で囲まれる図形の面積を $I$ とすると、

$$ I = \int_{0}^{x} \sqrt{u^2 + 1} \, du $$

ここで、$u = \frac{e^s - e^{-s}}{2}$ と置換すると、$du = \frac{e^s + e^{-s}}{2} ds$ であり、積分区間は $u: 0 \to x$ に対応して $s: 0 \to t$ となる。

$$ \begin{aligned} I &= \int_{0}^{t} \sqrt{\left( \frac{e^s - e^{-s}}{2} \right)^2 + 1} \cdot \frac{e^s + e^{-s}}{2} \, ds \\ &= \int_{0}^{t} \sqrt{\left( \frac{e^s + e^{-s}}{2} \right)^2} \cdot \frac{e^s + e^{-s}}{2} \, ds \\ &= \int_{0}^{t} \left( \frac{e^s + e^{-s}}{2} \right)^2 \, ds \\ &= \int_{0}^{t} \frac{e^{2s} + 2 + e^{-2s}}{4} \, ds \\ &= \left[ \frac{e^{2s}}{8} + \frac{s}{2} - \frac{e^{-2s}}{8} \right]_{0}^{t} \\ &= \frac{e^{2t} - e^{-2t}}{8} + \frac{t}{2} \end{aligned} $$

一方、直角三角形 $OPQ$ の面積は、

$$ \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^t - e^{-t}}{2} \cdot \frac{e^t + e^{-t}}{2} = \frac{e^{2t} - e^{-2t}}{8} $$

$A(t)$ は、面積 $I$ をもつ図形から直角三角形 $OPQ$ を除いた部分の面積であるから、

$$ \begin{aligned} A(t) &= I - \frac{1}{2}xy \\ &= \left( \frac{e^{2t} - e^{-2t}}{8} + \frac{t}{2} \right) - \frac{e^{2t} - e^{-2t}}{8} \\ &= \frac{t}{2} \end{aligned} $$

次に、$S(t)$ を求める。点 $M(0, 1)$、点 $P(x, y)$、点 $Q(x, 0)$、原点 $O(0, 0)$ を頂点とする四角形 $OMPQ$ は、上底が $1$、下底が $y$、高さが $x$ の台形である。この台形の面積は、

$$ \frac{1 + y}{2}x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}xy $$

曲線 $C$ は $y'' = (x^2+1)^{-\frac{3}{2}} > 0$ より下に凸であるため、線分 $MP$ は曲線 $C$ の上側に位置する。したがって、$S(t)$ は台形 $OMPQ$ の面積から $I$ を引いたものであるから、

$$ \begin{aligned} S(t) &= \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}xy \right) - I \\ &= \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}xy - \left( \frac{1}{2}xy + \frac{t}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2}x - \frac{t}{2} \\ &= \frac{e^t - e^{-t}}{4} - \frac{t}{2} \end{aligned} $$

(3)

$f(t) = A(t) - S(t)$ とおく。

$$ \begin{aligned} f(t) &= \frac{t}{2} - \left( \frac{e^t - e^{-t}}{4} - \frac{t}{2} \right) \\ &= t - \frac{e^t - e^{-t}}{4} \end{aligned} $$

$f(t)$ を $t$ で微分すると、

$$ f'(t) = 1 - \frac{e^t + e^{-t}}{4} $$

$f'(t) = 0$ となる $t$ を求める。

$$ \begin{aligned} 1 - \frac{e^t + e^{-t}}{4} &= 0 \\ e^t + e^{-t} &= 4 \end{aligned} $$

両辺に $e^t$ を掛けて整理すると、

$$ (e^t)^2 - 4e^t + 1 = 0 $$

これを解くと、$e^t = 2 \pm \sqrt{3}$ を得る。 $t \geqq 0$ のとき $e^t \geqq 1$ であるから、$2 - \sqrt{3} < 1$ より不適となり、

$$ e^t = 2 + \sqrt{3} $$

したがって、$t = \log(2 + \sqrt{3})$ となる。 $t \geqq 0$ における $f(t)$ の増減表は以下の通りである。

$t$	$0$	$\cdots$	$\log(2+\sqrt{3})$	$\cdots$
$f'(t)$		$+$	$0$	$-$
$f(t)$	$0$	$\nearrow$	極大かつ最大	$\searrow$

増減表より、$A(t) - S(t)$ が最大となる時刻 $t$ は $t = \log(2 + \sqrt{3})$ である。

解説

双曲線の媒介変数表示に関する頻出テーマである。(2)で定積分 $\int \sqrt{x^2+1}dx$ を直接計算しようとすると部分積分が必要となり煩雑になるが、与えられた $x = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$ を用いて $x$ から $t$ への置換積分を行うことで計算量を抑えることができる。また、図形の面積を求める際は、求める領域を「定積分の面積」「直角三角形」「台形」などの足し引きで構成すると見通しが良くなる。