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九州大学 2020年理系第3問解説

方針・初手

四面体の辺の中点を結ぶ直線が互いに直交するという条件が与えられていることから、ベクトルを用いてこれらの条件を数式化するのが定石である。各直線の方向ベクトルを求め、内積が $0$ になることを利用して等式を立てる。

ここから、直交する3つのベクトルを新たに基底として導入し、直交座標系を設定して空間図形として処理する方針（解法1）と、基準となる3つの位置ベクトルについて大きさと内積をすべて求め、直接計算を進める方針（解法2）の2通りが考えられる。

解法1

$\overrightarrow{\text{OA}} = \vec{a}$、$\overrightarrow{\text{OB}} = \vec{b}$、$\overrightarrow{\text{OC}} = \vec{c}$ とする。直線 $l$ は辺 $\text{OA}$ の中点と辺 $\text{BC}$ の中点を通るので、その方向ベクトルを $\vec{u}_l$ とすると、

$$ \vec{u}_l = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \frac{\vec{a}}{2} = \frac{-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{2} $$

となる。同様に、直線 $m, n$ の方向ベクトルをそれぞれ $\vec{u}_m, \vec{u}_n$ とすると、

$$ \vec{u}_m = \frac{\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}}{2}, \quad \vec{u}_n = \frac{\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}}{2} $$

となる。ここで、扱いを容易にするため新たに以下のベクトルを定義する。

$$ \begin{aligned} \vec{x} &= -\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \\ \vec{y} &= \vec{a}-\vec{b}+\vec{c} \\ \vec{z} &= \vec{a}+\vec{b}-\vec{c} \end{aligned} $$

条件より $l \perp m$、$m \perp n$、$n \perp l$ であるから、$\vec{x} \perp \vec{y}$、$\vec{y} \perp \vec{z}$、$\vec{z} \perp \vec{x}$ であり、

$$ \vec{x} \cdot \vec{y} = 0, \quad \vec{y} \cdot \vec{z} = 0, \quad \vec{z} \cdot \vec{x} = 0 $$

が成り立つ。また、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ を用いて表すと、

$$ \vec{a} = \frac{\vec{y}+\vec{z}}{2}, \quad \vec{b} = \frac{\vec{z}+\vec{x}}{2}, \quad \vec{c} = \frac{\vec{x}+\vec{y}}{2} $$

となる。与えられた辺の長さより、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{\text{AB}}|^2 &= |\vec{b}-\vec{a}|^2 = \left| \frac{\vec{x}-\vec{y}}{2} \right|^2 = \frac{|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2}{4} = 5 \\ |\overrightarrow{\text{BC}}|^2 &= |\vec{c}-\vec{b}|^2 = \left| \frac{\vec{y}-\vec{z}}{2} \right|^2 = \frac{|\vec{y}|^2+|\vec{z}|^2}{4} = 3 \\ |\overrightarrow{\text{CA}}|^2 &= |\vec{a}-\vec{c}|^2 = \left| \frac{\vec{z}-\vec{x}}{2} \right|^2 = \frac{|\vec{z}|^2+|\vec{x}|^2}{4} = 4 \end{aligned} $$

これらを整理すると、

$$ |\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2 = 20, \quad |\vec{y}|^2+|\vec{z}|^2 = 12, \quad |\vec{z}|^2+|\vec{x}|^2 = 16 $$

この3式の辺々を足すと $2(|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+|\vec{z}|^2) = 48$ より $|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+|\vec{z}|^2 = 24$ となり、各等式との差をとることで、

$$ |\vec{x}|^2 = 12, \quad |\vec{y}|^2 = 8, \quad |\vec{z}|^2 = 4 $$

を得る。

(1) 直線 $\text{OB}$ の方向ベクトルは $\vec{b} = \frac{\vec{x}+\vec{z}}{2}$、直線 $\text{CA}$ の方向ベクトルは $\overrightarrow{\text{CA}} = \vec{a}-\vec{c} = \frac{\vec{z}-\vec{x}}{2}$ である。これらの内積をとると、

$$ \vec{b} \cdot \overrightarrow{\text{CA}} = \frac{1}{4}(\vec{z}+\vec{x}) \cdot (\vec{z}-\vec{x}) = \frac{|\vec{z}|^2 - |\vec{x}|^2}{4} = \frac{4 - 12}{4} = -2 $$

また、それぞれのベクトルの大きさは、

$$ \begin{aligned} |\vec{b}| &= \frac{\sqrt{|\vec{x}|^2+|\vec{z}|^2}}{2} = \frac{\sqrt{16}}{2} = 2 \\ |\overrightarrow{\text{CA}}| &= \text{CA} = 2 \end{aligned} $$

直線 $\text{OB}$ と直線 $\text{CA}$ のなす角を $\alpha$ とすると、

$$ \cos \alpha = \frac{\vec{b} \cdot \overrightarrow{\text{CA}}}{|\vec{b}||\overrightarrow{\text{CA}}|} = \frac{-2}{2 \times 2} = -\frac{1}{2} $$

直線どうしのなす角 $\theta$ は $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ で定義されるため、$\cos \theta = |\cos \alpha| = \frac{1}{2}$ となる。したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ である。

(2) $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ は互いに直交するため、これらを各軸に平行なベクトルとみなした直交座標系 $O-xyz$ を設定できる。各軸方向の単位ベクトルを $\vec{e}_1 = \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}, \vec{e}_2 = \frac{\vec{y}}{|\vec{y}|}, \vec{e}_3 = \frac{\vec{z}}{|\vec{z}|}$ とすると、$\vec{x} = 2\sqrt{3}\vec{e}_1$、$\vec{y} = 2\sqrt{2}\vec{e}_2$、$\vec{z} = 2\vec{e}_3$ と表せる。これを用いて、点 $\text{O}$ を原点 $(0, 0, 0)$ としたときの各頂点の座標を求めると、

$$ \begin{aligned} \text{A}: \quad \vec{a} &= \sqrt{2}\vec{e}_2 + \vec{e}_3 \implies (0, \sqrt{2}, 1) \\ \text{B}: \quad \vec{b} &= \sqrt{3}\vec{e}_1 + \vec{e}_3 \implies (\sqrt{3}, 0, 1) \\ \text{C}: \quad \vec{c} &= \sqrt{3}\vec{e}_1 + \sqrt{2}\vec{e}_2 \implies (\sqrt{3}, \sqrt{2}, 0) \end{aligned} $$

求める球は原点 $\text{O}$ を通るため、その方程式を $x^2 + y^2 + z^2 + px + qy + rz = 0$ とおくことができる。この球が点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ を通ることから、

$$ \begin{cases} 2 + 1 + \sqrt{2}q + r = 0 \\ 3 + 1 + \sqrt{3}p + r = 0 \\ 3 + 2 + \sqrt{3}p + \sqrt{2}q = 0 \end{cases} $$

これらを整理すると、

$$ \begin{cases} \sqrt{2}q + r = -3 \quad \cdots \text{(i)} \\ \sqrt{3}p + r = -4 \quad \cdots \text{(ii)} \\ \sqrt{3}p + \sqrt{2}q = -5 \quad \cdots \text{(iii)} \end{cases} $$

3式の辺々を足して $2$ で割ると、$\sqrt{3}p + \sqrt{2}q + r = -6$ を得る。この式から (i), (ii), (iii) をそれぞれ引くことで、$p = -\sqrt{3}, q = -\sqrt{2}, r = -1$ と求まる。よって、球の方程式は $x^2 + y^2 + z^2 - \sqrt{3}x - \sqrt{2}y - z = 0$ となり、平方完成すると、

$$ \left(x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} $$

したがって、求める球の半径は $\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ である。

解法2

$\overrightarrow{\text{OA}} = \vec{a}$、$\overrightarrow{\text{OB}} = \vec{b}$、$\overrightarrow{\text{OC}} = \vec{c}$ とする。直線 $l, m, n$ の方向ベクトルは解法1と同様に表され、直交条件から内積が $0$ となる。

$$ \begin{aligned} (-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) = 0 &\implies |\vec{c}|^2 - |\vec{a}-\vec{b}|^2 = 0 \implies |\vec{c}|^2 = |\overrightarrow{\text{AB}}|^2 = 5 \\ (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}) = 0 &\implies |\vec{a}|^2 - |\vec{b}-\vec{c}|^2 = 0 \implies |\vec{a}|^2 = |\overrightarrow{\text{BC}}|^2 = 3 \\ (\vec{a}+\vec{b}-\vec{c})\cdot(-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 0 &\implies |\vec{b}|^2 - |\vec{a}-\vec{c}|^2 = 0 \implies |\vec{b}|^2 = |\overrightarrow{\text{CA}}|^2 = 4 \end{aligned} $$

また、辺の長さから以下の関係式が成り立つ。

$$ \begin{aligned} |\vec{a}-\vec{b}|^2 = 5 &\implies |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 5 \implies 3 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 4 = 5 \implies \vec{a}\cdot\vec{b} = 1 \\ |\vec{b}-\vec{c}|^2 = 3 &\implies |\vec{b}|^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 = 3 \implies 4 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + 5 = 3 \implies \vec{b}\cdot\vec{c} = 3 \\ |\vec{c}-\vec{a}|^2 = 4 &\implies |\vec{c}|^2 - 2\vec{c}\cdot\vec{a} + |\vec{a}|^2 = 4 \implies 5 - 2\vec{c}\cdot\vec{a} + 3 = 4 \implies \vec{c}\cdot\vec{a} = 2 \end{aligned} $$

(1) 直線 $\text{OB}$ の方向ベクトルは $\vec{b}$、直線 $\text{CA}$ の方向ベクトルは $\vec{a}-\vec{c}$ である。これらのなす角を $\alpha$ とすると、

$$ \cos \alpha = \frac{\vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{c})}{|\vec{b}||\vec{a}-\vec{c}|} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{b}\cdot\vec{c}}{2 \times 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} $$

なす角 $\theta$ は $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ である。

(2) 球の中心を $\text{S}$ とし、$\overrightarrow{\text{OS}} = \vec{s}$ とする。求める球の半径を $R$ とすると、点 $\text{S}$ は4点 $\text{O}, \text{A}, \text{B}, \text{C}$ から等距離にあるため、

$$ R^2 = |\vec{s}|^2 = |\vec{s}-\vec{a}|^2 = |\vec{s}-\vec{b}|^2 = |\vec{s}-\vec{c}|^2 $$

が成り立つ。これらを展開して $|\vec{s}|^2$ を消去すると、

$$ \begin{aligned} -2\vec{s}\cdot\vec{a} + |\vec{a}|^2 = 0 &\implies \vec{s}\cdot\vec{a} = \frac{3}{2} \\ -2\vec{s}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 0 &\implies \vec{s}\cdot\vec{b} = 2 \\ -2\vec{s}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 = 0 &\implies \vec{s}\cdot\vec{c} = \frac{5}{2} \end{aligned} $$

ここで、$\vec{s} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ とおき、上記の各内積の式に代入する。

$$ \begin{cases} 3x + y + 2z = \frac{3}{2} \quad \cdots \text{(i)} \\ x + 4y + 3z = 2 \quad \cdots \text{(ii)} \\ 2x + 3y + 5z = \frac{5}{2} \quad \cdots \text{(iii)} \end{cases} $$

$\text{(ii)} \times 2 - \text{(iii)}$ より $5y + z = \frac{3}{2}$ すなわち $z = \frac{3}{2} - 5y$ となる。また、$\text{(ii)} \times 3 - \text{(i)}$ より $11y + 7z = \frac{9}{2}$ となるため、これに先ほどの $z$ を代入して、

$$ 11y + 7\left(\frac{3}{2} - 5y\right) = \frac{9}{2} \implies -24y = -6 \implies y = \frac{1}{4} $$

よって、$z = \frac{3}{2} - \frac{5}{4} = \frac{1}{4}$ となり、(ii) から $x = 2 - 4\left(\frac{1}{4}\right) - 3\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$ と求まる。したがって、$\vec{s} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ である。

半径 $R$ は以下のように計算できる。

$$ \begin{aligned} R^2 = |\vec{s}|^2 &= \frac{1}{16}|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 \\ &= \frac{1}{16}\left(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{b}\cdot\vec{c} + 2\vec{c}\cdot\vec{a}\right) \\ &= \frac{1}{16}\left(3 + 4 + 5 + 2 \times 1 + 2 \times 3 + 2 \times 2\right) \\ &= \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \end{aligned} $$

よって、$R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ である。

解説

空間ベクトルを用いて図形的条件を処理する標準的な問題である。与えられた直交条件を素直に内積 $0$ として立式できれば、基底ベクトルの大きさや内積の値がすべて求まり、あとは計算問題に帰着する。

解法1は、和と差で表された新たなベクトルを基底として置き換えることで、互いに直交するという性質を利用して座標空間に落とし込む工夫である。座標を設定してしまえば、内積計算や外接球の連立方程式が劇的に見通しよくなる。解法2は定石通りに未知の係数を置いて連立方程式を解くアプローチであるが、計算量がやや多くなるため正確な処理が求められる。