九州大学 2020年 理系 第1問 解説

方針・初手

曲線上の点における接線の方程式を立て、それが点 $(a, 0)$ を通る条件を接点の $x$ 座標 $t$ の方程式として導く。この方程式が実数解をもつような定数 $a$ の範囲を求めればよい。方程式から定数 $a$ を分離してグラフの上下関係（共有点の存在）に帰着させる定石的な手法と、定数を分離せずに関数の最小値に着目する手法の2つを示す。

解法1

$f(x) = e^{-x} - e^{-2x}$ とおく。これを微分すると、

$$f'(x) = -e^{-x} + 2e^{-2x}$$

となる。

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, e^{-t} - e^{-2t})$ における接線の方程式は、

$$y - (e^{-t} - e^{-2t}) = (-e^{-t} + 2e^{-2t})(x - t)$$

である。この直線が点 $(a, 0)$ を通るため、

$$-(e^{-t} - e^{-2t}) = (-e^{-t} + 2e^{-2t})(a - t)$$

が成り立つ。両辺に $e^{2t}$ （$e^{2t} \neq 0$）を掛けて整理する。

$$-e^t + 1 = (-e^t + 2)(a - t)$$

$$-e^t + 1 = -a e^t + t e^t + 2a - 2t$$

$$a(e^t - 2) = t e^t + e^t - 2t - 1$$

ここで、$e^t - 2 = 0$ すなわち $t = \log 2$ と仮定すると、左辺は $0$ となるが、右辺は

$$\log 2 \cdot 2 + 2 - 2\log 2 - 1 = 1 \neq 0$$

となるため矛盾する。よって $e^t - 2 \neq 0$ であり、両辺を $e^t - 2$ で割ることができる。

$$a = \frac{(t+1)e^t - 2t - 1}{e^t - 2}$$

関数 $g(t) = \frac{(t+1)e^t - 2t - 1}{e^t - 2}$ とおき、$y = g(t)$ のグラフと直線 $y = a$ が共有点をもつための $a$ の条件を求める。

$$g'(t) = \frac{ \{(t+2)e^t - 2\}(e^t - 2) - \{(t+1)e^t - 2t - 1\}e^t }{(e^t - 2)^2}$$

分子を展開して整理する。

$$\text{分子} = (t+2)e^{2t} - 2(t+2)e^t - 2e^t + 4 - (t+1)e^{2t} + (2t+1)e^t$$

$$= e^{2t} - 5e^t + 4$$

$$= (e^t - 1)(e^t - 4)$$

したがって、導関数は以下のようになる。

$$g'(t) = \frac{(e^t - 1)(e^t - 4)}{(e^t - 2)^2}$$

$g'(t) = 0$ となるのは $e^t = 1$ または $e^t = 4$、すなわち $t = 0$ または $t = \log 4$ （$t = 2\log 2$）のときである。 増減表をかくと以下のようになる。（ただし $t = \log 2$ は定義域外）

$t$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\log 2$	$\cdots$	$\log 4$	$\cdots$
$g'(t)$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$	$0$	$+$
$g(t)$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$\times$	$\searrow$	極小	$\nearrow$

極大値は $t=0$ のとき、

$$g(0) = \frac{1 \cdot 1 - 0 - 1}{1 - 2} = 0$$

極小値は $t = \log 4$ のとき、$e^{\log 4} = 4$ であるから、

$$g(\log 4) = \frac{(\log 4 + 1) \cdot 4 - 2\log 4 - 1}{4 - 2} = \frac{2\log 4 + 3}{2} = 2\log 2 + \frac{3}{2}$$

となる。

また、極限を調べると、

$$\lim_{t \to -\infty} g(t) = \lim_{t \to -\infty} \frac{e^t(t+1) - 2t - 1}{e^t - 2} = -\infty$$

$$\lim_{t \to \infty} g(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{t+1 - 2te^{-t} - e^{-t}}{1 - 2e^{-t}} = \infty$$

$$\lim_{t \to \log 2 - 0} g(t) = -\infty, \quad \lim_{t \to \log 2 + 0} g(t) = \infty$$

となる。

以上より、関数 $y = g(t)$ のグラフの概形から、直線 $y = a$ と共有点をもつための定数 $a$ の値の範囲は、

$$a \leqq 0, \quad a \geqq 2\log 2 + \frac{3}{2}$$

解法2

定数 $a$ を分離せず、直接関数として扱う別解を示す。解法1の途中で得られた方程式を移項して、関数 $h(t)$ を次のように定義する。

$$h(t) = (t - a + 1)e^t - 2t + 2a - 1$$

接線が存在する条件は、方程式 $h(t) = 0$ が実数解をもつことである。導関数は、

$$h'(t) = 1 \cdot e^t + (t - a + 1)e^t - 2 = (t - a + 2)e^t - 2$$

$$h''(t) = 1 \cdot e^t + (t - a + 2)e^t = (t - a + 3)e^t$$

$h''(t) = 0$ とすると $t = a - 3$ である。 $t < a - 3$ では $h''(t) < 0$、$t > a - 3$ では $h''(t) > 0$ であるから、$h'(t)$ は $t = a - 3$ で単独の最小値をとる。 その最小値は、

$$h'(a - 3) = (a - 3 - a + 2)e^{a-3} - 2 = -e^{a-3} - 2 < 0$$

である。また、$\lim_{t \to -\infty} h'(t) = -2$、$\lim_{t \to \infty} h'(t) = \infty$ であることから、方程式 $h'(t) = 0$ はただ1つの実数解をもつ。この解を $t = \alpha$ とおく。

$t < \alpha$ において $h'(t) < 0$、$t > \alpha$ において $h'(t) > 0$ であるから、$h(t)$ は $t = \alpha$ で最小値 $h(\alpha)$ をとる。 したがって、$h(t) = 0$ が実数解をもつための条件は、

$$h(\alpha) \leqq 0$$

である。

ここで $h'(\alpha) = 0$ より $(\alpha - a + 2)e^\alpha - 2 = 0$ であるから、

$$\alpha - a + 2 = 2e^{-\alpha}$$

すなわち、

$$a = \alpha - 2e^{-\alpha} + 2 \quad \cdots (*)$$

が成り立つ。これを用いて $h(\alpha)$ を計算すると、

$$h(\alpha) = (\alpha - a + 1)e^\alpha - 2\alpha + 2a - 1$$

$$= (2e^{-\alpha} - 1)e^\alpha - 2(\alpha - a) - 1$$

$$= 2 - e^\alpha - 2(2e^{-\alpha} - 2) - 1$$

$$= -e^\alpha - 4e^{-\alpha} + 5$$

$h(\alpha) \leqq 0$ より、

$$-e^\alpha - 4e^{-\alpha} + 5 \leqq 0$$

両辺に $e^\alpha$ （$e^\alpha > 0$）を掛けて整理すると、

$$(e^\alpha)^2 - 5e^\alpha + 4 \geqq 0$$

$$(e^\alpha - 1)(e^\alpha - 4) \geqq 0$$

$e^\alpha > 0$ より、

$$0 < e^\alpha \leqq 1, \quad e^\alpha \geqq 4$$

これを解いて、

$$\alpha \leqq 0, \quad \alpha \geqq \log 4$$

ここで、$(*)$ で定まる $a$ の値を $\alpha$ の関数とみて $a(\alpha)$ とおくと、

$$a'(\alpha) = 1 + 2e^{-\alpha} > 0$$

であり、$a(\alpha)$ は単調増加関数である。したがって、求める $a$ の範囲は、

$$a \leqq a(0), \quad a \geqq a(\log 4)$$

これを計算すると、

$$a(0) = 0 - 2 \cdot 1 + 2 = 0$$

$$a(\log 4) = \log 4 - 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 = 2\log 2 + \frac{3}{2}$$

よって、

$$a \leqq 0, \quad a \geqq 2\log 2 + \frac{3}{2}$$

解説

接線の存在条件を求める典型的な微分法の問題である。 接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接線の方程式を立ててから定点 $(a, 0)$ を通る条件を課すのが基本方針である。導かれた $t$ の方程式を解くことはできないため、実数解の存在条件に帰着させる。 解法1のように定数 $a$ を分離してグラフの上下関係を利用する定石が最も見通しがよい。商の微分の計算において、分子がうまく因数分解できるかが完答への鍵となる。解法2は少し高度な論理展開を要するが、極値をもつ条件などの応用として学ぶ価値が高い解法である。

答え

$$a \leqq 0, \quad a \geqq 2\log 2 + \frac{3}{2}$$