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名古屋大学 1972年文系第4問解説

方針・初手

放物線上の接点を文字でおき、その点における接線の方程式を立式する。その接線が点 $P(x_0, y_0)$ を通るという条件から、接点の座標を決定する方程式を導く。放物線においては接点と接線が1対1に対応するため、「接線が2本引けること」と「接点を決定する方程式が異なる2つの実数解をもつこと」が同値になることを利用する。

面積については、2つの接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおき、解と係数の関係を用いて $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ を $x_0, y_0$ で表したうえで、三角形の面積公式を用いて計算する。

解法1

放物線 $y = x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線の方程式を求める。

$y' = 2x$ より、点 $(t, t^2)$ における接線の傾きは $2t$ であるから、接線の方程式は

$$ y - t^2 = 2t(x - t) $$

すなわち

$$ y = 2tx - t^2 $$

と表される。この接線が点 $P(x_0, y_0)$ を通るので

$$ y_0 = 2tx_0 - t^2 $$

整理すると、$t$ についての2次方程式が得られる。

$$ t^2 - 2x_0 t + y_0 = 0 \quad \cdots (1) $$

放物線においては、接点と接線は1対1に対応する。したがって、点 $P$ を通る接線が2本引けるための必要十分条件は、方程式 (1) が異なる2つの実数解をもつことである。

方程式 (1) の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = (-x_0)^2 - 1 \cdot y_0 > 0 $$

よって

$$ x_0^2 > y_0 $$

となり、題意は証明された。

次に、このとき方程式 (1) の異なる2つの実数解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、解と係数の関係より

$$ \begin{aligned} \alpha + \beta &= 2x_0 \\ \alpha \beta &= y_0 \end{aligned} $$

が成り立つ。また、$(\beta - \alpha)^2$ の値は

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= 4x_0^2 - 4y_0 \\ &= 4(x_0^2 - y_0) \end{aligned} $$

となり、$\beta - \alpha > 0$ であるから

$$ \beta - \alpha = 2\sqrt{x_0^2 - y_0} $$

である。

2つの接点 $Q, R$ の座標はそれぞれ $(\alpha, \alpha^2), (\beta, \beta^2)$ である。点 $P(x_0, y_0)$ を原点に移す平行移動を考えると、3点 $P, Q, R$ はそれぞれ以下の点に移る。

$$ \begin{aligned} P' &(0, 0) \\ Q' &(\alpha - x_0, \alpha^2 - y_0) \\ R' &(\beta - x_0, \beta^2 - y_0) \end{aligned} $$

したがって、$\triangle PQR$ の面積 $S$ は $\triangle P'Q'R'$ の面積に等しく、次のように計算できる。

$$ S = \frac{1}{2} |(\alpha - x_0)(\beta^2 - y_0) - (\beta - x_0)(\alpha^2 - y_0)| $$

絶対値の中身を整理する。

$$ \begin{aligned} & (\alpha - x_0)(\beta^2 - y_0) - (\beta - x_0)(\alpha^2 - y_0) \\ &= (\alpha\beta^2 - \alpha y_0 - x_0\beta^2 + x_0 y_0) - (\alpha^2\beta - \beta y_0 - x_0\alpha^2 + x_0 y_0) \\ &= \alpha\beta(\beta - \alpha) + y_0(\beta - \alpha) - x_0(\beta^2 - \alpha^2) \\ &= (\beta - \alpha) \{ \alpha\beta + y_0 - x_0(\alpha + \beta) \} \end{aligned} $$

ここに $y_0 = \alpha\beta, \ 2x_0 = \alpha + \beta$ を代入する。

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha) \left\{ 2\alpha\beta - \frac{\alpha + \beta}{2}(\alpha + \beta) \right\} &= (\beta - \alpha) \cdot \frac{4\alpha\beta - (\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2)}{2} \\ &= (\beta - \alpha) \cdot \frac{-(\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2)}{2} \\ &= -\frac{1}{2}(\beta - \alpha)^3 \end{aligned} $$

したがって、面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} \left| -\frac{1}{2}(\beta - \alpha)^3 \right| = \frac{1}{4}(\beta - \alpha)^3 $$

となる。$\beta - \alpha = 2\sqrt{x_0^2 - y_0}$ を代入して、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{4} \left( 2\sqrt{x_0^2 - y_0} \right)^3 \\ &= \frac{1}{4} \cdot 8(x_0^2 - y_0)^{\frac{3}{2}} \\ &= 2(x_0^2 - y_0)\sqrt{x_0^2 - y_0} \end{aligned} $$

解説

「接線の本数」を問われた場合は、接点を文字でおき「接点の個数」に帰着させて方程式の実数解の個数を調べるのが、数学IIの微積分における定石である。

また、放物線 $y=ax^2$ 外の点 $P$ から引いた2本の接線の接点を $Q, R$ とし、それぞれの $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とすると、交点 $P$ の $x$ 座標は必ず接点の $x$ 座標の中点 $\frac{\alpha+\beta}{2}$ になるという性質がある。さらに、$\triangle PQR$ の面積は放物線と線分 $QR$ で囲まれた面積の $\frac{1}{2}$ になることが知られており、面積公式として $S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$ が成り立つ。この事実を知っていれば、計算結果の検算に活用できる。