京都大学 1998年 理系 第4問 解説

方針・初手

与えられた条件から放物線の方程式を決定し、定積分を用いて領域の面積 $S_m$ を $a$ と $m$ で表します。次に、格子点の数 $L_m$ を求めます。領域内の格子点は $x$ 座標ごとに縦に数え上げるのが定石です。直線 $x=k$ （$k$ は整数）上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表し、その和として $L_m$ を立式します。最後にガウス記号の不等式を用いて $L_m$ を評価し、はさみうちの原理から極限を求めます。

解法1

放物線の頂点が $(a, m)$ であるから、放物線の方程式は $y = p(x-a)^2 + m$ とおける。 これが原点 $(0,0)$ を通るため、

$$ 0 = p(0-a)^2 + m $$

$$ p = -\frac{m}{a^2} $$

よって、放物線の方程式は $y = -\frac{m}{a^2}(x-a)^2 + m$ となる。これを展開・整理して $f(x)$ とおくと、

$$ f(x) = -\frac{m}{a^2}(x^2 - 2ax) = -\frac{m}{a^2}x^2 + \frac{2m}{a}x $$

である。

まず、面積 $S_m$ を求める。放物線と $x$ 軸の交点は $x=0, 2a$ であるから、

$$ \begin{aligned} S_m &= \int_0^{2a} f(x) dx \\ &= \int_0^{2a} \left( -\frac{m}{a^2}x(x-2a) \right) dx \\ &= \frac{m}{a^2} \cdot \frac{(2a - 0)^3}{6} \\ &= \frac{4}{3}am \end{aligned} $$

次に、領域の内部および境界線上にある格子点の数 $L_m$ を求める。 領域は $0 \le x \le 2a, \ 0 \le y \le f(x)$ で表される。 $x$ 座標が整数 $k$ （$k=0, 1, \dots, 2a$）である直線 $x=k$ 上にある格子点の $y$ 座標は、$0, 1, \dots, [f(k)]$ の $[f(k)] + 1$ 個である。ただし、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表すガウス記号である。 したがって、格子点の総数 $L_m$ は次のように表せる。

$$ L_m = \sum_{k=0}^{2a} ([f(k)] + 1) $$

すべての実数 $x$ に対して $x - 1 < [x] \le x$ が成り立つから、

$$ f(k) < [f(k)] + 1 \le f(k) + 1 $$

辺々を $k=0$ から $2a$ まで足し合わせると、

$$ \sum_{k=0}^{2a} f(k) < L_m \le \sum_{k=0}^{2a} (f(k) + 1) $$

ここで、$\sum_{k=0}^{2a} f(k)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{2a} k &= \frac{1}{2} \cdot 2a(2a+1) = a(2a+1) \\ \sum_{k=0}^{2a} k^2 &= \frac{1}{6} \cdot 2a(2a+1)(4a+1) = \frac{a(2a+1)(4a+1)}{3} \end{aligned} $$

これらを用いて計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{2a} f(k) &= \sum_{k=0}^{2a} \left( -\frac{m}{a^2}k^2 + \frac{2m}{a}k \right) \\ &= -\frac{m}{a^2} \cdot \frac{a(2a+1)(4a+1)}{3} + \frac{2m}{a} \cdot a(2a+1) \\ &= \frac{m(2a+1)}{3a} \left\{ -(4a+1) + 6a \right\} \\ &= \frac{m(2a+1)(2a-1)}{3a} \\ &= \frac{m(4a^2-1)}{3a} \end{aligned} $$

また、$\sum_{k=0}^{2a} 1 = 2a + 1$ であるから、不等式は次のようになる。

$$ \frac{m(4a^2-1)}{3a} < L_m \le \frac{m(4a^2-1)}{3a} + 2a + 1 $$

この不等式の各辺を $S_m = \frac{4}{3}am$ で割る。

$$ \frac{\frac{m(4a^2-1)}{3a}}{\frac{4}{3}am} < \frac{L_m}{S_m} \le \frac{\frac{m(4a^2-1)}{3a} + 2a + 1}{\frac{4}{3}am} $$

左辺を整理すると、

$$ \frac{\frac{m(4a^2-1)}{3a}}{\frac{4}{3}am} = \frac{4a^2-1}{4a^2} $$

右辺を整理すると、

$$ \frac{4a^2-1}{4a^2} + \frac{2a+1}{\frac{4}{3}am} = \frac{4a^2-1}{4a^2} + \frac{3(2a+1)}{4am} $$

したがって、

$$ \frac{4a^2-1}{4a^2} < \frac{L_m}{S_m} \le \frac{4a^2-1}{4a^2} + \frac{3(2a+1)}{4am} $$

$a$ は定数であるから、$m \to \infty$ のとき $\frac{3(2a+1)}{4am} \to 0$ となる。 よって、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{m \to \infty} \frac{L_m}{S_m} = \frac{4a^2-1}{4a^2} $$

解説

格子点の極限を問う典型的な問題です。領域内の格子点数を数える際は、$x$ 座標（または $y$ 座標）を整数に固定し、その線分上の格子点数をガウス記号を用いて表してから足し合わせるのが基本方針となります。 ガウス記号の性質 $X - 1 < [X] \le X$ を利用して不等式を作り、はさみうちの原理に持ち込む流れは頻出です。 また、図形が全体的に拡大されていく極限（例えば $a \to \infty$ と $m \to \infty$ が同時に起こるような場合）では $\lim \frac{L}{S} = 1$ となることが多いですが、本問では横幅（$x$ 方向）が固定されたまま縦方向（$y$ 方向）にのみ図形が伸びていくため、定積分と区分求積（リーマン和）の誤差が最後まで残り、極限値が $1$ にならない点が特徴的です。

答え

$$ \frac{4a^2-1}{4a^2} $$