名古屋大学 1973年 文系 第6問 解説

方針・初手

確率の基本である「(条件を満たす場合の数) / (すべての場合の数)」に従って計算する。組合せの公式 ${}_n\mathrm{C}_{r}$ を用いてそれぞれの場合の数を求める。 (ii) は「どの色の札も入っている」という条件から、赤、白、青の各色が少なくとも1枚は含まれることを意味する。合計4枚を取り出すため、各色の枚数の内訳を具体的に場合分けすることが第一歩となる。

解法1

22枚の札から同時に4枚を取り出す場合の数は、

$$ {}_{22}\mathrm{C}_{4} = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 7 \times 5 \times 19 = 7315 $$

通りである。

(i) 4枚とも赤札である場合の数は、赤札10枚から4枚を取り出す場合の数であるから、

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 $$

通りである。よって、求める確率は

$$ \frac{210}{7315} = \frac{2 \times 3 \times 5 \times 7}{5 \times 7 \times 11 \times 19} = \frac{6}{209} $$

となる。

(ii) 4枚の中にどの色の札も入っているためには、赤、白、青の3色がすべて1枚以上含まれている必要がある。取り出すのは合計4枚であるから、各色の枚数の内訳は以下の3つのパターンのいずれかとなる。

・赤2枚、白1枚、青1枚の場合 ・赤1枚、白2枚、青1枚の場合 ・赤1枚、白1枚、青2枚の場合

それぞれの場合の数を求める。

赤2枚、白1枚、青1枚を取り出す場合の数は、

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{2} \times {}_{7}\mathrm{C}_{1} \times {}_{5}\mathrm{C}_{1} = 45 \times 7 \times 5 = 1575 $$

通り。

赤1枚、白2枚、青1枚を取り出す場合の数は、

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{1} \times {}_{7}\mathrm{C}_{2} \times {}_{5}\mathrm{C}_{1} = 10 \times 21 \times 5 = 1050 $$

通り。

赤1枚、白1枚、青2枚を取り出す場合の数は、

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{1} \times {}_{7}\mathrm{C}_{1} \times {}_{5}\mathrm{C}_{2} = 10 \times 7 \times 10 = 700 $$

通り。

これら3つの事象は互いに排反であるから、条件を満たす取り出し方の総数は

$$ 1575 + 1050 + 700 = 3325 $$

通りである。よって、求める確率は

$$ \frac{3325}{7315} = \frac{5^2 \times 7 \times 19}{5 \times 7 \times 11 \times 19} = \frac{5}{11} $$

となる。

解説

組合せを用いた確率の標準的な問題である。 (ii) において「どの色も含まれる」という条件を「各色が少なくとも1枚含まれる」と読み替え、合計4枚になるような各色の枚数の組み合わせを漏れなく重複なくリストアップすることが重要である。 最後に既約分数で表すよう求められているため、分子と分母の数をそれぞれ素因数分解の形や積の形のまま保持しておくと、約分が容易になり計算ミスを防ぐことができる。

答え

(i)

$$ \frac{6}{209} $$

(ii)

$$ \frac{5}{11} $$