名古屋大学 1997年 文系 第1問 解説

方針・初手

正三角形の辺の長さを文字で置き、各点 $P(t), Q(t), R(t)$ の位置をベクトルを用いて表す。重心の位置ベクトルが時間 $t$ に依存せず一定となるような条件を立式し、ベクトルの1次独立性を用いて各速さ $u, v, w$ の関係を導く。速度ベクトルを用いて微分的に考えることも有効である。

解法1

正三角形 $ABC$ の辺の長さを $l \ (l>0)$ とする。 空間上の任意の点を原点 $O$ とし、各点 $A, B, C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とする。 各点は等速運動をするため、$t$ 時間後の移動距離はそれぞれ $ut, vt, wt$ である。 点 $P(t)$ は辺 $AB$ 上を $A$ から $B$ へ向かって進むので、その位置ベクトル $\vec{p}(t)$ は

$$ \vec{p}(t) = \vec{a} + \frac{ut}{l}(\vec{b} - \vec{a}) = \left(1 - \frac{ut}{l}\right)\vec{a} + \frac{ut}{l}\vec{b} $$

と表せる。同様に、点 $Q(t), R(t)$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{q}(t), \vec{r}(t)$ とすると、

$$ \vec{q}(t) = \left(1 - \frac{vt}{l}\right)\vec{b} + \frac{vt}{l}\vec{c} $$

$$ \vec{r}(t) = \left(1 - \frac{wt}{l}\right)\vec{c} + \frac{wt}{l}\vec{a} $$

である。 $\triangle P(t)Q(t)R(t)$ の重心 $G$ の位置ベクトルを $\vec{g}(t)$ とすると、

$$ \vec{g}(t) = \frac{\vec{p}(t) + \vec{q}(t) + \vec{r}(t)}{3} $$

これに上記の式を代入し、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ について整理すると、

$$ \vec{g}(t) = \frac{1}{3} \left\{ \left(1 - \frac{u-w}{l}t\right)\vec{a} + \left(1 - \frac{v-u}{l}t\right)\vec{b} + \left(1 - \frac{w-v}{l}t\right)\vec{c} \right\} $$

$$ = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} - \frac{t}{3l} \left\{ (u-w)\vec{a} + (v-u)\vec{b} + (w-v)\vec{c} \right\} $$

となる。 重心 $G$ が動かないための条件は、$\vec{g}(t)$ が $t$ の値によらず一定のベクトルとなることである。したがって、

$$ (u-w)\vec{a} + (v-u)\vec{b} + (w-v)\vec{c} = \vec{0} $$

が成り立つ必要がある。 ここで、始点を $A$ に揃えるために $\vec{a} = \vec{0}$ とおくと、$\vec{b} = \vec{AB}, \vec{c} = \vec{AC}$ となる。上式に代入すると、

$$ (v-u)\vec{AB} + (w-v)\vec{AC} = \vec{0} $$

$\triangle ABC$ は正三角形であるから、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は零ベクトルではなく、かつ互いに平行ではない（1次独立である）。 したがって、

$$ v-u = 0 \quad \text{かつ} \quad w-v = 0 $$

すなわち、$u=v=w$ が求める条件である。

解法2

各点の位置ベクトルを時間 $t$ で微分した「速度ベクトル」を用いて考える。 正三角形 $ABC$ の辺の長さを $l$ とする。 点 $P, Q, R$ の速度ベクトルをそれぞれ $\vec{v}_P, \vec{v}_Q, \vec{v}_R$ とすると、各点はそれぞれ辺 $AB, BC, CA$ に沿って等速運動をするから、

$$ \vec{v}_P = u \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} = \frac{u}{l}\vec{AB} $$

$$ \vec{v}_Q = v \frac{\vec{BC}}{|\vec{BC}|} = \frac{v}{l}\vec{BC} $$

$$ \vec{v}_R = w \frac{\vec{CA}}{|\vec{CA}|} = \frac{w}{l}\vec{CA} $$

と表せる。 $\triangle P(t)Q(t)R(t)$ の重心 $G(t)$ の速度ベクトル $\vec{v}_G$ は、

$$ \vec{v}_G = \frac{\vec{v}_P + \vec{v}_Q + \vec{v}_R}{3} $$

である。重心が動かないための条件は、常に $\vec{v}_G = \vec{0}$ となることであるから、

$$ \frac{u}{l}\vec{AB} + \frac{v}{l}\vec{BC} + \frac{w}{l}\vec{CA} = \vec{0} $$

両辺に $l$ を掛けて、

$$ u\vec{AB} + v\vec{BC} + w\vec{CA} = \vec{0} $$

ここで、$\vec{CA} = -\vec{AB} - \vec{BC}$ であるから、これを代入すると、

$$ u\vec{AB} + v\vec{BC} + w(-\vec{AB} - \vec{BC}) = \vec{0} $$

$$ (u-w)\vec{AB} + (v-w)\vec{BC} = \vec{0} $$

$\triangle ABC$ は正三角形であり、$\vec{AB}$ と $\vec{BC}$ は1次独立であるから、

$$ u-w = 0 \quad \text{かつ} \quad v-w = 0 $$

すなわち、$u=v=w$ を得る。

解説

動点の位置をパラメータ $t$ を用いて立式し、定ベクトルとなる条件を考える基本問題である。 解法1のように位置ベクトルをそのまま計算しても容易に解けるが、解法2のように「位置が一定である」ことを「速度がゼロである」と言い換えて微分の考え方（速度ベクトル）を導入すると、式変形がより簡潔になる。いずれの場合も、平面上の任意のベクトルは1次独立な2つのベクトルの線形結合で一意に表せるという性質を用いることが重要である。

答え

$u=v=w$