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名古屋大学 1997年文系第2問解説

方針・初手

曲線と直線の交点 $P$ の座標を求めることが出発点となる。(1)は基本的な定積分による面積計算である。(2)は点 $Q$ の $x$ 座標を変数として $\triangle OPQ$ の面積を立式し、微分を用いて最大値を求める。面積の表し方には、ベクトルの成分を用いる方法や、点と直線の距離を用いる方法がある。

解法1

$y=x^3$ と $y=tx$ を連立して、$x^3 = tx$ を解くと、$x(x^2 - t) = 0$ となり、$x = 0, \pm\sqrt{t}$ を得る。 $t > 0$ かつ $x > 0$ における交点 $P$ の $x$ 座標は $\sqrt{t}$ である。したがって、$P(\sqrt{t}, t\sqrt{t})$ となる。

(1)

$0 \leqq x \leqq \sqrt{t}$ において、$t > 0$ より $tx - x^3 = x(t-x^2) \geqq 0$ であるから、曲線と直線 $l$ で囲まれる領域の面積を $S$ とすると、

$$ S = \int_{0}^{\sqrt{t}} (tx - x^3) dx $$

$$ S = \left[ \frac{1}{2}tx^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{\sqrt{t}} $$

$$ S = \frac{1}{2}t(\sqrt{t})^2 - \frac{1}{4}(\sqrt{t})^4 = \frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{4}t^2 = \frac{1}{4}t^2 $$

(2)

点 $Q$ は $O$ から $P$ まで動くため、その $x$ 座標を $q$ とすると $0 \leqq q \leqq \sqrt{t}$ であり、$Q(q, q^3)$ と表せる。原点 $O(0,0)$、点 $P(\sqrt{t}, t\sqrt{t})$、点 $Q(q, q^3)$ を頂点とする $\triangle OPQ$ の面積を $T$ とする。原点を1つの頂点とする三角形の面積公式を用いると、

$$ T = \frac{1}{2} \left| \sqrt{t} \cdot q^3 - t\sqrt{t} \cdot q \right| = \frac{1}{2}\sqrt{t} \left| q^3 - tq \right| $$

$0 \leqq q \leqq \sqrt{t}$ において $q^3 - tq = q(q^2 - t) \leqq 0$ であるから、絶対値記号を外すと、

$$ T = \frac{1}{2}\sqrt{t} (tq - q^3) $$

$f(q) = tq - q^3 \ (0 \leqq q \leqq \sqrt{t})$ とおく。$q$ で微分すると、

$$ f'(q) = t - 3q^2 $$

$f'(q) = 0$ となるのは、$q > 0$ より $q = \sqrt{\frac{t}{3}}$ のときである。 $0 \leqq q \leqq \sqrt{t}$ において、増減を考えると、$q = \sqrt{\frac{t}{3}}$ のとき $f(q)$ は最大となる。その最大値は、

$$ f\left(\sqrt{\frac{t}{3}}\right) = t\sqrt{\frac{t}{3}} - \left(\sqrt{\frac{t}{3}}\right)^3 = \left(t - \frac{t}{3}\right) \sqrt{\frac{t}{3}} = \frac{2}{3}t \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}t\sqrt{t} $$

したがって、求める面積 $T$ の最大値は、

$$ T = \frac{1}{2}\sqrt{t} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{9}t\sqrt{t} = \frac{\sqrt{3}}{9}t^2 $$

解法2

(2)の別解

直線 $l$ の方程式は $tx - y = 0$ である。点 $Q(q, q^3) \ (0 \leqq q \leqq \sqrt{t})$ と直線 $l$ との距離を $d$ とすると、

$$ d = \frac{|tq - q^3|}{\sqrt{t^2 + (-1)^2}} = \frac{tq - q^3}{\sqrt{t^2 + 1}} $$

（$\because 0 \leqq q \leqq \sqrt{t}$ より $tq - q^3 \geqq 0$）

また、底辺となる線分 $OP$ の長さは、

$$ OP = \sqrt{(\sqrt{t})^2 + (t\sqrt{t})^2} = \sqrt{t + t^3} = \sqrt{t(t^2 + 1)} $$

$\triangle OPQ$ の面積を $T$ とすると、$T = \frac{1}{2} \cdot OP \cdot d$ であるから、

$$ T = \frac{1}{2} \sqrt{t(t^2 + 1)} \cdot \frac{tq - q^3}{\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{1}{2}\sqrt{t} (tq - q^3) $$

これ以降は解法1と同様にして関数 $f(q) = tq - q^3$ の最大値を求め、面積の最大値 $\frac{\sqrt{3}}{9}t^2$ を得る。

解説

(1)は、積分区間とグラフの上下関係を正しく把握すれば問題なく解ける標準的な計算問題である。 (2)は、図形量を1変数の関数に帰着させて最大値を求める典型問題である。各点の座標が分かっているため、座標平面上の3点からなる三角形の面積公式を用いると立式がスムーズに進む。点と直線の距離を用いて高さと底辺から直接面積を計算する方法（解法2）も自然な発想であり、根号がうまく約分されるため計算量もそれほど変わらない。絶対値を外す際や、最大値を求める際の計算ミスに注意したい。