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名古屋大学 1961年理系第2問解説

方針・初手

(1) は、点 $A(a, b)$ を通る直線 $PQ$ の傾きを $m$ とおき、$x$ 切片と $y$ 切片を $a, b, m$ で表すことから始める。三角形の面積が $1$ であるという条件から $m$ についての方程式を導き、その方程式が条件を満たす実数解をもつための $a, b$ の範囲を調べる。

(2) は、四捨五入の条件を不等式に翻訳することが初手となる。全体の平均点は、A組とB組の平均点を人数の比で内分した値になることを利用し、A組の人数 $x$ についての不等式を立てて、とり得る値の範囲を評価する。

(1) 解法1

直線 $PQ$ の傾きを $m$ とおく。直線 $PQ$ は第1象限の点 $A(a, b)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸の正の部分と交わるから、$m < 0$ である。

直線 $PQ$ の方程式は、

$$y - b = m(x - a)$$

と表せる。

$y = 0$ とすると $x = a - \frac{b}{m}$ となるので、点 $P$ の座標は $\left( a - \frac{b}{m}, 0 \right)$ である。

$x = 0$ とすると $y = b - am$ となるので、点 $Q$ の座標は $(0, b - am)$ である。

点 $A$ は第1象限の点であるから $a > 0, b > 0$ である。また $m < 0$ より、点 $P$ の $x$ 座標と点 $Q$ の $y$ 座標はどちらも正となる。

三角形 $OPQ$ の面積が $1$ であるから、

$$\frac{1}{2} \left( a - \frac{b}{m} \right) (b - am) = 1$$

が成り立つ。これを展開して整理すると、

$$\frac{1}{2} \left( 2ab - a^2 m - \frac{b^2}{m} \right) = 1$$

$$2ab - a^2 m - \frac{b^2}{m} = 2$$

両辺に $-m$ （$-m > 0$）を掛けて整理すると、

$$a^2 m^2 + 2(1 - ab)m + b^2 = 0$$

となる。これを $m$ についての2次方程式とみて解の公式を用いると、

$$m = \frac{-(1 - ab) \pm \sqrt{(1 - ab)^2 - a^2 b^2}}{a^2} = \frac{ab - 1 \pm \sqrt{1 - 2ab}}{a^2}$$

これが求める直線の傾きである。

次に、このような直線が引けるための点 $A(a, b)$ の存在範囲を求める。傾き $m$ が実数として存在するためには、根号の中身が $0$ 以上であればよいから、

$$1 - 2ab \geqq 0$$

$$ab \leqq \frac{1}{2}$$

となる。

このとき、もとの2次方程式において解と係数の関係を考えると、2つの解の積は $\frac{b^2}{a^2} > 0$ であるため、2つの解は同符号である。

また、解の和は $\frac{-2(1 - ab)}{a^2}$ であり、$ab \leqq \frac{1}{2}$ より $1 - ab > 0$ であるから、解の和は負となる。

したがって、実数解をもてばそれらは必ず負となり、$m < 0$ の条件を満たす。点 $A$ は第1象限の点であるから、$a > 0$ かつ $b > 0$ も満たす必要がある。

以上より、求める点 $A$ の存在範囲は、

$$a > 0 \quad \text{かつ} \quad b > 0 \quad \text{かつ} \quad ab \leqq \frac{1}{2}$$

となる。これを $xy$ 平面上に図示すると、双曲線 $y = \frac{1}{2x}$ の $x > 0$ における部分と、$x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた領域となる。ただし、境界線は曲線 $y = \frac{1}{2x}$ 上の実線部分のみを含み、座標軸上の点は含まない。

(1) 解法2

直線 $PQ$ の方程式を、切片 $p, q$ を用いて

$$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1 \quad (p > 0, q > 0)$$

とおく。

直線は点 $A(a, b)$ を通るため、

$$\frac{a}{p} + \frac{b}{q} = 1$$

が成り立つ。

三角形 $OPQ$ の面積が $1$ であるから、

$$\frac{1}{2}pq = 1 \iff q = \frac{2}{p}$$

となる。これを先ほどの式に代入して整理すると、

$$\frac{a}{p} + \frac{bp}{2} = 1$$

$$bp^2 - 2p + 2a = 0$$

これが $p > 0$ の範囲に実数解をもてばよい。判別式を $D$ とすると、

$$\frac{D}{4} = 1 - 2ab \geqq 0 \iff ab \leqq \frac{1}{2}$$

このとき、解と係数の関係より $p$ の2つの解の和は $\frac{2}{b} > 0$、積は $\frac{2a}{b} > 0$ となるため、実数解をもてばそれらは必ず正となり条件を満たす。

よって点 $A$ の存在範囲は $a > 0, b > 0, ab \leqq \frac{1}{2}$ となる。

このときの直線の傾き $m$ は $m = -\frac{q}{p} = -\frac{2}{p^2}$ となる。方程式を解いて $p = \frac{1 \pm \sqrt{1-2ab}}{b}$ を代入して整理すると、解法1と同じ結果が得られる。

(2) 解法1

A組の人数を $x$ 人 $(1 \leqq x \leqq 99)$ とすると、B組の人数は $100 - x$ 人となる。

A組の平均点の真の値を $a$、B組の平均点の真の値を $b$、全体の平均点の真の値を $m$ とすると、四捨五入の条件から以下の不等式が成り立つ。

$$70.45 \leqq a < 70.55$$

$$75.55 \leqq b < 75.65$$

$$73.15 \leqq m < 73.25$$

全体の合計点は、各組の合計点の和に等しいから、

$$100m = xa + (100 - x)b$$

これを $m$ について解き、全体の平均点の不等式に代入すると、

$$73.15 \leqq \frac{xa + (100 - x)b}{100} < 73.25$$

辺々に $100$ を掛けて整理する。

$$7315 \leqq xa + 100b - xb < 7325$$

$$7315 - 100b \leqq -x(b - a) < 7325 - 100b$$

$a, b$ の条件より $b - a > 0$ であるから、各辺を $-(b - a)$ で割ると不等号の向きが変わり、

$$\frac{100b - 7325}{b - a} < x \leqq \frac{100b - 7315}{b - a}$$

となる。

ここで、左辺の最小値について考える。関数 $f(a, b) = \frac{100b - 7325}{b - a} = 100 \left( 1 - \frac{73.25 - a}{b - a} \right)$ において、$a$ を固定して考えると、$b$ が大きくなるにつれて分母が大きくなるため引く数が小さくなり、値は大きくなる。よって $b$ が最小値 $75.55$ をとるとき小さくなる。さらに $b$ を固定して考えると、$a$ が大きくなるにつれて分子が小さく分母が小さくなるため、値は大きくなる。よって $a$ も最小値 $70.45$ をとるとき最小となる。

$$x > 100 \times \frac{75.55 - 73.25}{75.55 - 70.45} = 100 \times \frac{2.3}{5.1} = \frac{2300}{51} = 45.09\dots$$

次に、右辺の上限について考える。関数 $g(a, b) = \frac{100b - 7315}{b - a} = 100 \left( 1 - \frac{73.15 - a}{b - a} \right)$ についても同様に、$a, b$ がそれぞれ大きいほど値が大きくなる。$a < 70.55, b < 75.65$ における上限を考えると、

$$x < 100 \times \frac{75.65 - 73.15}{75.65 - 70.55} = 100 \times \frac{2.5}{5.1} = \frac{2500}{51} = 49.01\dots$$

以上より、$x$ の満たすべき条件は、

$$45.09\dots < x < 49.01\dots$$

となる。$x$ は人数であり整数であるから、とり得る値は $46, 47, 48, 49$ となる。