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名古屋大学 1997年理系第4問解説

方針・初手

直方体の向かい合う3組の面は合同であるため、出る確率が等しい2つの面が3組存在することに着目する。与えられた確率から3組すべての確率を求め、期待値の条件から向かい合う面の数字の和を未知数とした方程式を立てて絞り込む。

解法1

直方体の6つの面は、向かい合う2面ずつ3組の合同な面からなる。均質な材質であるから、向かい合う2面の出る確率は等しい。

3組の面が出る確率をそれぞれ $p_1, p_2, p_3$ とすると、すべての事象の確率の和は $1$ であるから、 $$2p_1 + 2p_2 + 2p_3 = 1$$ すなわち $$p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{2}$$ が成り立つ。

ある数が出る確率が $\frac{1}{9}$、別のある数が出る確率が $\frac{1}{4}$ であるから、$p_1 = \frac{1}{9}, p_2 = \frac{1}{4}$ とする。このとき、残りの確率 $p_3$ は、 $$p_3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} - \frac{1}{4} = \frac{18 - 4 - 9}{36} = \frac{5}{36}$$ となる。

したがって、6つの面は、出る確率がそれぞれ $\frac{4}{36}$ のペア、$\frac{9}{36}$ のペア、$\frac{5}{36}$ のペアに分かれる。

各ペアに書かれている数の和をそれぞれ $S_1, S_2, S_3$ とすると、これらは $1$ から $6$ までの数を2つずつ3組に分けた和であるから、 $$S_1 + S_2 + S_3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$$ である。

また、出る目の期待値が $3$ であるから、 $$\frac{4}{36} S_1 + \frac{9}{36} S_2 + \frac{5}{36} S_3 = 3$$ $$4S_1 + 9S_2 + 5S_3 = 108$$ が成り立つ。

これに $S_3 = 21 - S_1 - S_2$ を代入して整理すると、 $$4S_1 + 9S_2 + 5(21 - S_1 - S_2) = 108$$ $$-S_1 + 4S_2 + 105 = 108$$ $$S_1 = 4S_2 - 3$$ となる。

$1$ から $6$ までの異なる2つの数の和であるため、$S_2$ は $1+2=3$ 以上、$5+6=11$ 以下の整数である。 $S_2$ がとりうる値を調べる。

$S_2 = 3$ のとき、$S_1 = 4 \times 3 - 3 = 9$ となる。このとき $S_3 = 21 - 9 - 3 = 9$ である。
$S_2 = 4$ のとき、$S_1 = 4 \times 4 - 3 = 13$ となるが、これは最大値 $11$ を超えるため不適である。
$S_2 \geqq 5$ のとき、$S_1$ はさらに大きくなるため不適である。

したがって、$S_2 = 3$、かつ $S_1 = 9, S_3 = 9$ の場合のみが条件を満たす。

$1$ から $6$ までの数を、和が $3, 9, 9$ となるように2つずつ分ける組み合わせを考える。和が $3$ となるペアは $\{1, 2\}$ に限られる。残りの数 $\{3, 4, 5, 6\}$ を和がそれぞれ $9$ となるように分けると、$\{3, 6\}$ と $\{4, 5\}$ になる。

よって、向かい合う面の数の組み合わせは $\{1, 2\}, \{3, 6\}, \{4, 5\}$ で確定する。ゆえに、$3$ が書かれている面の反対側の面に書かれている数は $6$ である。

解説

問題文の「直方体」「均質な材質」という条件から、向かい合う面の確率が等しいことを読み取るのが最初のポイントである。これにより、未知の確率を特定することができる。その後は、向かい合う面の数字の和を未知数として期待値の式を立て、整数問題として処理する典型的な流れとなる。和の最大値や最小値を意識して未知数を絞り込むことで、一意に解を求めることができる。