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名古屋大学 1997年理系第3問解説

方針・初手

与えられた条件式 $\sum_{k=1}^n (a_k)^2 = n^2 + 2n$ は、数列 $(a_n)^2$ の初項から第 $n$ 項までの和を表しています。和 $S_n$ と一般項の関係 $a_n^2 = S_n - S_{n-1} \ (n \ge 2)$ を用いて、まずは数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

一般項が求まった後、分子の和 $a_1 + \cdots + a_n$ を評価します。この和を直接計算することは難しいため、関数としての増大度（オーダー）に着目します。$n \to \infty$ のとき、和の極限を区分求積法や積分による面積評価に持ち込んで極限値を求め、収束する $r$ の条件を決定します。

解法1

与えられた条件式を次のように置く。

$$ \sum_{k=1}^n (a_k)^2 = n^2 + 2n \quad \cdots (1) $$

$n=1$ のとき、(1) より

$$ (a_1)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3 $$

数列 $\{a_n\}$ は正数からなるため $a_1 > 0$ であり、

$$ a_1 = \sqrt{3} $$

$n \ge 2$ のとき、(1) を用いて $(a_n)^2$ を求めると

$$ \begin{aligned} (a_n)^2 &= \sum_{k=1}^n (a_k)^2 - \sum_{k=1}^{n-1} (a_k)^2 \\ &= (n^2 + 2n) - \{ (n-1)^2 + 2(n-1) \} \\ &= n^2 + 2n - (n^2 - 1) \\ &= 2n + 1 \end{aligned} $$

$a_n > 0$ であるから、

$$ a_n = \sqrt{2n+1} \quad (n \ge 2) $$

これは $n=1$ のとき $\sqrt{2 \cdot 1 + 1} = \sqrt{3}$ となり、$n=1$ の場合も満たす。よって、すべての自然数 $n$ について次が成り立つ。

$$ a_n = \sqrt{2n+1} $$

次に、求める数列の分子である和を $T_n = \sum_{k=1}^n a_k$ とおく。

$$ T_n = \sum_{k=1}^n \sqrt{2k+1} $$

$T_n$ のオーダーを見積もるため、$n^{3/2}$ で割った極限を区分求積法を用いて調べる。

$$ \frac{T_n}{n^{3/2}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{2k+1}{n}} $$

ここで、すべての自然数 $k$ に対して $2k < 2k+1 \le 2(k+1)$ が成り立つので、各辺を $n$ で割り正の平方根をとると

$$ \sqrt{\frac{2k}{n}} < \sqrt{\frac{2k+1}{n}} \le \sqrt{\frac{2(k+1)}{n}} $$

辺々を $k=1$ から $n$ まで足し合わせ、$n$ で割ることで次の不等式を得る。

$$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{2 \cdot \frac{k}{n}} < \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{2k+1}{n}} \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{2 \cdot \frac{k+1}{n}} \quad \cdots (2) $$

$n \to \infty$ とすると、(2) の左辺は区分求積法により定積分で表され、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{2 \cdot \frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{2x} \,dx = \left[ \frac{1}{3} (2x)^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

(2) の右辺も同様に極限をとると、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{2 \cdot \frac{k+1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=2}^{n+1} \sqrt{2 \cdot \frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{2x} \,dx = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

はさみうちの原理より、中央の極限もこれらに一致する。

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{n^{3/2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

問題の数列は $\left\{ \frac{T_n}{n^r} \right\}$ であるから、次のように変形して極限を考える。

$$ \frac{T_n}{n^r} = \frac{T_n}{n^{3/2}} \cdot n^{\frac{3}{2}-r} $$

(i) $r = \frac{3}{2}$ のとき

$n^{\frac{3}{2}-r} = n^0 = 1$ であるから、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{n^{\frac{3}{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

(ii) $r > \frac{3}{2}$ のとき

$\frac{3}{2}-r < 0$ より $\lim_{n\to\infty} n^{\frac{3}{2}-r} = 0$ となるから、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{n^r} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 0 = 0 $$

(iii) $r < \frac{3}{2}$ のとき

$\frac{3}{2}-r > 0$ より $\lim_{n\to\infty} n^{\frac{3}{2}-r} = \infty$ となる。$\frac{T_n}{n^{3/2}} \to \frac{2\sqrt{2}}{3} > 0$ であるため、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{n^r} = \infty $$

となり発散する。

以上より、数列が収束する実数 $r$ の範囲は $r \ge \frac{3}{2}$ であり、その極限値は場合分けで求めた通りである。

解法2

解法1と同様にして $a_n = \sqrt{2n+1}$ を得る。和を $T_n = \sum_{k=1}^n \sqrt{2k+1}$ とおく。

関数 $f(x) = \sqrt{2x+1}$ は $x \ge 0$ において単調増加である。したがって、任意の自然数 $k$ に対して、区間 $k-1 < x < k$ において $f(k-1) < f(x) < f(k)$ が成り立つので、定積分すると

$$ \int_{k-1}^k \sqrt{2x+1} \,dx < \sqrt{2k+1} < \int_k^{k+1} \sqrt{2x+1} \,dx $$

これを $k=1$ から $n$ まで辺々足し合わせると、

$$ \int_0^n \sqrt{2x+1} \,dx < \sum_{k=1}^n \sqrt{2k+1} < \int_1^{n+1} \sqrt{2x+1} \,dx $$

定積分をそれぞれ計算する。左辺の積分は、

$$ \int_0^n \sqrt{2x+1} \,dx = \left[ \frac{1}{3} (2x+1)^{\frac{3}{2}} \right]_0^n = \frac{1}{3} \{ (2n+1)^{\frac{3}{2}} - 1 \} $$

右辺の積分は、

$$ \int_1^{n+1} \sqrt{2x+1} \,dx = \left[ \frac{1}{3} (2x+1)^{\frac{3}{2}} \right]_1^{n+1} = \frac{1}{3} \{ (2n+3)^{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{3} \} $$

これらを不等式に代入し、各辺を $n^{\frac{3}{2}}$ で割る。

$$ \frac{(2n+1)^{\frac{3}{2}} - 1}{3 n^{\frac{3}{2}}} < \frac{T_n}{n^{\frac{3}{2}}} < \frac{(2n+3)^{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{3}}{3 n^{\frac{3}{2}}} $$

両端の式の $n \to \infty$ での極限を計算する。

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3} \left\{ \left( \frac{2n+1}{n} \right)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \right\} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3} \left\{ \left( 2 + \frac{1}{n} \right)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \right\} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3} \left\{ \left( \frac{2n+3}{n} \right)^{\frac{3}{2}} - \frac{3\sqrt{3}}{n^{\frac{3}{2}}} \right\} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3} \left\{ \left( 2 + \frac{3}{n} \right)^{\frac{3}{2}} - \frac{3\sqrt{3}}{n^{\frac{3}{2}}} \right\} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{n^{\frac{3}{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

極限値が定まったので、以降は解法1と同様に $r$ の値で場合分けを行い、収束の条件と極限値を求める。

解説

$\sum$ がついた和が直接計算できない場合の定石を問う問題です。一般項が $a_n = \sqrt{2n+1}$ であるため、大まかに $a_n \sim \sqrt{2} n^{\frac{1}{2}}$ と捉えられます。

これを積分 $\int x^{\frac{1}{2}} \,dx \sim x^{\frac{3}{2}}$ のようにみなすことで、「和全体としては $n^{\frac{3}{2}}$ のオーダーで増加する」という推当りをつけることができます。この見通しを持てれば、$n^{\frac{3}{2}}$ で割った極限を区分求積法（解法1）または面積評価（解法2）ではさみうちにする方針が自然に浮かびます。