大阪大学 2007年 文系 第2問 解説

方針・初手

$1$ 回の試行でさいころの目は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれかが出る。$n$ 回の試行で出た目の最大公約数 $G$ が特定の数 $k$ となるのは、「出た目がすべて $k$ の倍数であり、かつ、それらの最大公約数がちょうど $k$ となる」場合である。

(1)では $G=3$ となる事象を、$3$ の倍数のみが出る事象から $6$ のみが出る事象を除いて考える。(2)では $G=1, 2, 3, 4, 5, 6$ となる確率をそれぞれ求め、期待値の定義に従って計算する。

解法1

(1)

$n$ 回投げて出た目の最大公約数 $G$ が $3$ となるのは、出た目がすべて $3$ の倍数（すなわち $3$ または $6$）であり、かつ、すべての目が $6$ ではない場合である。

さいころの目がすべて $3$ または $6$ となる確率は、

$$ \left(\frac{2}{6}\right)^n = \left(\frac{1}{3}\right)^n $$

である。このうち、すべての目が $6$ となる確率は、

$$ \left(\frac{1}{6}\right)^n $$

である。

したがって、$G=3$ となる確率は、

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^n - \left(\frac{1}{6}\right)^n $$

となる。

(2)

$G$ がとりうる値は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれかである。それぞれの値をとる確率 $P(G=k)$ を求める。

$G=4, 5, 6$ となるのは、それぞれすべての目が $4, 5, 6$ となる場合のみであるから、

$$ \begin{aligned} P(G=4) &= \left(\frac{1}{6}\right)^n \\ P(G=5) &= \left(\frac{1}{6}\right)^n \\ P(G=6) &= \left(\frac{1}{6}\right)^n \end{aligned} $$

である。

(1)より、$P(G=3)$ は、

$$ P(G=3) = \left(\frac{1}{3}\right)^n - \left(\frac{1}{6}\right)^n $$

である。

次に、$G=2$ となる確率を求める。出た目がすべて $2$ の倍数（$2, 4, 6$）となる確率は、

$$ \left(\frac{3}{6}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n $$

である。この事象のうち、最大公約数が $2$ より大きくなるのは、すべての目が $4$ になる（$G=4$）か、すべての目が $6$ になる（$G=6$）場合のいずれかである。したがって、

$$ P(G=2) = \left(\frac{1}{2}\right)^n - P(G=4) - P(G=6) = \left(\frac{1}{2}\right)^n - 2\left(\frac{1}{6}\right)^n $$

となる。

最後に、$P(G=1)$ は全事象の確率 $1$ から上記を除いたものなので、期待値 $E$ は、

$$ \begin{aligned} E &= \sum_{k=1}^6 k P(G=k) \\ &= 1 \cdot \left( 1 - \sum_{k=2}^6 P(G=k) \right) + \sum_{k=2}^6 k P(G=k) \\ &= 1 + \sum_{k=2}^6 (k - 1) P(G=k) \end{aligned} $$

と変形できる。各確率を代入して整理すると、

$$ \begin{aligned} E &= 1 + 1 \cdot P(G=2) + 2 \cdot P(G=3) + 3 \cdot P(G=4) + 4 \cdot P(G=5) + 5 \cdot P(G=6) \\ &= 1 + \left\{ \left(\frac{1}{2}\right)^n - 2\left(\frac{1}{6}\right)^n \right\} + 2 \left\{ \left(\frac{1}{3}\right)^n - \left(\frac{1}{6}\right)^n \right\} + 3\left(\frac{1}{6}\right)^n + 4\left(\frac{1}{6}\right)^n + 5\left(\frac{1}{6}\right)^n \\ &= 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n + 2\left(\frac{1}{3}\right)^n + \left( -2 - 2 + 3 + 4 + 5 \right)\left(\frac{1}{6}\right)^n \\ &= 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n + 2\left(\frac{1}{3}\right)^n + 8\left(\frac{1}{6}\right)^n \end{aligned} $$

となる。

解説

最大公約数が $k$ になる事象を「すべての目が $k$ の倍数になる事象」から「最大公約数が $2k, 3k, \dots$ となる事象」を引いて求める、確率分野における典型的な包除原理の考え方を用いる問題である。

(2)で $G=1$ となる確率を直接求めようとすると計算が煩雑になるが、$P(G=1) = 1 - \sum_{k=2}^{6} P(G=k)$ の関係式を用いて期待値の式に代入することで、計算量を大きく減らすことができる。

答え

(1)

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^n - \left(\frac{1}{6}\right)^n $$

(2)

$$ 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n + 2\left(\frac{1}{3}\right)^n + 8\left(\frac{1}{6}\right)^n $$