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名古屋大学 2004年理系第4問解説

方針・初手

複数の円が接する問題では、中心間の距離と半径の和・差の関係式を立てることが基本となる。外接する場合は「中心間距離 = 半径の和」、内接する場合は「中心間距離 = 半径の差」となる。本問では、図形の対称性に着目して適切に座標軸を設定し、円 $C$ の中心座標を未知数として方程式を導く方針が確実である。

解法1

円 $C, C_1, C_2, C_3$ の中心をそれぞれ $O, O_1, O_2, O_3$ とする。円 $C_1, C_2$ は半径 $a$ で互いに外接しているため、$O_1 O_2 = 2a$ である。円 $C_1, C_3$ は半径 $a, 2a$ で互いに外接しているため、$O_1 O_3 = a + 2a = 3a$ である。同様に、円 $C_2, C_3$ についても $O_2 O_3 = 3a$ である。

したがって、$\triangle O_1 O_2 O_3$ は $O_1 O_2 = 2a$ を底辺とする二等辺三角形となる。線分 $O_1 O_2$ の中点を $M$ とすると、三平方の定理より $O_3 M$ は以下のように求まる。

$$ O_3 M = \sqrt{O_1 O_3^2 - O_1 M^2} = \sqrt{(3a)^2 - a^2} = 2\sqrt{2}a $$

ここで、$M$ を原点 $(0, 0)$ とし、直線 $O_1 O_2$ を $x$ 軸、直線 $M O_3$ を $y$ 軸とする座標系を設定する。各中心の座標は、$O_1(-a, 0)$、$O_2(a, 0)$、$O_3(0, 2\sqrt{2}a)$ と表すことができる。

円 $C$ は半径 $1$ であり、円 $C_1, C_2, C_3$ をすべて内包している。円 $C_1, C_2$ が円 $C$ に内接していることから、対称性より円 $C$ の中心 $O$ は $y$ 軸上に存在する。よって、$O$ の座標を $(0, y)$ とおく。また、内側の円の半径は外側の円の半径より小さくなければならないため、$2a < 1$ すなわち $0 < a < \frac{1}{2}$ が前提条件となる。

円 $C_1$ が円 $C$ に内接する条件より、$O O_1 = 1 - a$ となるため、

$$ a^2 + y^2 = (1 - a)^2 $$

展開して整理すると、

$$ y^2 = 1 - 2a $$

円 $C_3$ が円 $C$ に内接する条件より、$O O_3 = 1 - 2a$ となるため、

$$ (0 - 0)^2 + (2\sqrt{2}a - y)^2 = (1 - 2a)^2 $$

$$ 8a^2 - 4\sqrt{2}ay + y^2 = 1 - 4a + 4a^2 $$

この式に $y^2 = 1 - 2a$ を代入する。

$$ 8a^2 - 4\sqrt{2}ay + (1 - 2a) = 1 - 4a + 4a^2 $$

$$ 4a^2 + 2a - 4\sqrt{2}ay = 0 $$

$a > 0$ であるから、両辺を $2a$ で割って $y$ について解く。

$$ 2a + 1 - 2\sqrt{2}y = 0 $$

$$ y = \frac{2a + 1}{2\sqrt{2}} $$

求めた $y$ を $y^2 = 1 - 2a$ に代入して $a$ の方程式を導く。

$$ \frac{(2a + 1)^2}{8} = 1 - 2a $$

$$ 4a^2 + 4a + 1 = 8(1 - 2a) $$

$$ 4a^2 + 20a - 7 = 0 $$

この2次方程式を解の公式で解く。

$$ \begin{aligned} a &= \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7)}}{4} \\ &= \frac{-10 \pm \sqrt{128}}{4} \\ &= \frac{-10 \pm 8\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{-5 \pm 4\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$

ここで、$0 < a < \frac{1}{2}$ の条件を確認する。 $4\sqrt{2} = \sqrt{32} \approx 5.65$ であるため、 $a = \frac{-5 - 4\sqrt{2}}{2} < 0$ は不適となる。一方、$a = \frac{-5 + 4\sqrt{2}}{2} \approx \frac{0.65}{2} = 0.325$ は条件を満たす。

解法2

図形的な位置関係と三平方の定理を用いて解く。解法1と同様に各円の中心を定め、線分 $O_1 O_2$ の中点を $M$ とすると、$O_1 M = a$、$O_3 M = 2\sqrt{2}a$ となる。円 $C$ の中心 $O$ は対称性から直線 $M O_3$ 上にある。

直角三角形 $\triangle O_1 M O$ に着目する。円 $C_1$ が円 $C$ に内接する条件から $O O_1 = 1 - a$ であり、三平方の定理より $O M$ は以下となる。

$$ \begin{aligned} O M^2 &= O O_1^2 - O_1 M^2 \\ &= (1 - a)^2 - a^2 \\ &= 1 - 2a \end{aligned} $$

$0 < a < \frac{1}{2}$ であるため、$O M = \sqrt{1 - 2a}$ となる。また、円 $C_3$ が円 $C$ に内接する条件から、$O O_3 = 1 - 2a$ である。

ここで、点 $O$、点 $M$、点 $O_3$ は同一直線上にある。 $O O_3 = 1 - 2a$ と $O M = \sqrt{1 - 2a}$ の大小を比較すると、$0 < a < \frac{1}{2}$ より $1 - 2a < \sqrt{1 - 2a}$ となり、$O O_3 < O M$ が成り立つ。したがって、これらの点は $M, O, O_3$ の順に並ぶか、$O, M, O_3$ の順に並ぶかのいずれかである。計算を簡略化するため、$x = \sqrt{1 - 2a} \ (x > 0)$ とおく。このとき $2a = 1 - x^2$ であり、$O_3 M = 2\sqrt{2}a = \sqrt{2}(1 - x^2)$、$O M = x$、$O O_3 = x^2$ と表せる。

(i) 点 $M, O, O_3$ の順に並ぶ場合

線分の長さの関係は $O_3 M = O M + O O_3$ となるため、

$$ \sqrt{2}(1 - x^2) = x + x^2 $$

整理して、

$$ (\sqrt{2} + 1)x^2 + x - \sqrt{2} = 0 $$

解の公式を用いて $x$ を求める。

$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(\sqrt{2} + 1)(-\sqrt{2})}}{2(\sqrt{2} + 1)} $$

根号の中身を計算すると、$1 + 4\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) = 9 + 4\sqrt{2}$ となる。二重根号を外すと $\sqrt{9 + 2\sqrt{8}} = 2\sqrt{2} + 1$ となるため、

$$ \begin{aligned} x &= \frac{-1 \pm (2\sqrt{2} + 1)}{2(\sqrt{2} + 1)} \end{aligned} $$

$x > 0$ より、符号が正のものを採用する。

$$ \begin{aligned} x &= \frac{2\sqrt{2}}{2(\sqrt{2} + 1)} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \\ &= \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) \\ &= 2 - \sqrt{2} \end{aligned} $$

このとき、$2a = 1 - x^2 = 1 - (2 - \sqrt{2})^2 = 1 - (6 - 4\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 5$ となり、$a = \frac{4\sqrt{2} - 5}{2}$ を得る。

(ii) 点 $O, M, O_3$ の順に並ぶ場合

線分の長さの関係は $O_3 M = O O_3 - O M$ となるため、

$$ \sqrt{2}(1 - x^2) = x^2 - x $$

整理して、

$$ (\sqrt{2} + 1)x^2 - x - \sqrt{2} = 0 $$

(i) と同様に解の公式を用いると、

$$ \begin{aligned} x &= \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4(\sqrt{2} + 1)(-\sqrt{2})}}{2(\sqrt{2} + 1)} \\ &= \frac{1 \pm (2\sqrt{2} + 1)}{2(\sqrt{2} + 1)} \end{aligned} $$

$x > 0$ より符号が正のものを採用すると $x = 1$ となる。このとき $2a = 1 - 1^2 = 0$ となり、$a = 0$ となるが、これは $a > 0$ の条件に反するため不適である。

以上より、求める値は $a = \frac{4\sqrt{2} - 5}{2}$ である。

解説

複数の円が接する条件を式に落とし込む典型的な図形問題である。解法1のように座標を設定して代数計算を進める方法は、点の並び順や図形的な配置の吟味をある程度自動化できるため、試験場では安全で確実なアプローチとなる。一方、解法2のように幾何的に解く場合は、中心がどのような順番で同一直線上に並ぶのか（図形的な位置関係）の丁寧な吟味が必要になるが、$\sqrt{1 - 2a}$ を一つの文字で置換する工夫によって計算を大きく簡略化でき、見通しよく解き進めることができる。