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名古屋大学 2004年理系第3問解説

方針・初手

漸化式と三角関数に関する証明・計算問題です。 (1) は、隣接3項間漸化式と条件式が与えられているため、数学的帰納法を用いて証明します。積和・和積の公式を利用することがポイントです。 (2) は、積分区間と被積分関数を考え、(1) を活用するために $x=2\cos\theta$ と置換積分を行います。$|x| \leqq 2$ の条件もこの置換と合致しています。 (3) は、(2) で求めた結果に対して $n \to \infty$ の極限をとります。極限の基本公式 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ の形を作り出して計算を進めます。

解法1

(1)

すべての非負整数 $n$ について、

$$ f_n(2\cos\theta) = 2\cos n\theta \cdots (*) $$

が成り立つことを、数学的帰納法によって示す。

(i) $n=0, 1$ のとき条件より $f_0(x)=2$ であるから、

$$ f_0(2\cos\theta) = 2 = 2\cos 0\theta $$

となり、成り立つ。また $f_1(x)=x$ であるから、

$$ f_1(2\cos\theta) = 2\cos\theta = 2\cos 1\theta $$

となり、成り立つ。

(ii) $n=k-1, k$ （$k \geqq 1$）のとき、(*)が成り立つと仮定する。すなわち、

$$ f_{k-1}(2\cos\theta) = 2\cos(k-1)\theta $$

$$ f_k(2\cos\theta) = 2\cos k\theta $$

と仮定する。 $n=k+1$ のとき、与えられた漸化式 $f_{k+1}(x) = xf_k(x) - f_{k-1}(x)$ に $x=2\cos\theta$ を代入すると、

$$ f_{k+1}(2\cos\theta) = 2\cos\theta \cdot 2\cos k\theta - 2\cos(k-1)\theta $$

ここで、積和の公式 $2\cos A\cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ を用いると、

$$ \begin{aligned} f_{k+1}(2\cos\theta) &= \{ \cos(k+1)\theta + \cos(k-1)\theta \} \times 2 - 2\cos(k-1)\theta \\ &= 2\cos(k+1)\theta + 2\cos(k-1)\theta - 2\cos(k-1)\theta \\ &= 2\cos(k+1)\theta \end{aligned} $$

よって、$n=k+1$ のときも(*)が成り立つ。

(i), (ii) より、すべての非負整数 $n$ について $f_n(2\cos\theta) = 2\cos n\theta$ が成り立つことが示された。

(2)

$n \geqq 2$ とする。 $-2 \leqq x \leqq 2$ であるから、$x=2\cos\theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi)$ とおくことができる。このとき、方程式 $f_n(x)=0$ は (1) の結果を用いると、

$$ 2\cos n\theta = 0 $$

$$ \cos n\theta = 0 $$

となる。 $0 \leqq \theta \leqq \pi$ より $0 \leqq n\theta \leqq n\pi$ であるから、この範囲で解を求めると、

$$ n\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \cdots, \frac{2n-1}{2}\pi $$

すなわち、

$$ \theta = \frac{\pi}{2n}, \frac{3\pi}{2n}, \cdots, \frac{2n-1}{2n}\pi $$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ において $\cos\theta$ は単調に減少するため、$x=2\cos\theta$ が最大となるのは $\theta$ が最小となるときである。したがって、最大の実数解 $x_n$ を与える $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2n}$ であり、

$$ x_n = 2\cos\frac{\pi}{2n} $$

である。

次に、求める積分を $I_n$ とおいて計算する。 $x=2\cos\theta$ と置換すると、$dx = -2\sin\theta d\theta$ であり、積分区間は $x$ が $x_n$ から $2$ まで変化するとき、$\theta$ は $\frac{\pi}{2n}$ から $0$ まで変化する。

$$ \begin{aligned} I_n &= \int_{\frac{\pi}{2n}}^0 f_n(2\cos\theta) \cdot (-2\sin\theta) d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2n}} 2\cos n\theta \cdot 2\sin\theta d\theta \\ &= 2 \int_0^{\frac{\pi}{2n}} 2\sin\theta\cos n\theta d\theta \end{aligned} $$

積和の公式 $2\sin A\cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ を用いると、

$$ \begin{aligned} I_n &= 2 \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \{ \sin(n+1)\theta - \sin(n-1)\theta \} d\theta \\ &= 2 \left[ -\frac{\cos(n+1)\theta}{n+1} + \frac{\cos(n-1)\theta}{n-1} \right]_0^{\frac{\pi}{2n}} \end{aligned} $$

ここで、$\theta = \frac{\pi}{2n}$ を代入した値は、

$$ \begin{aligned} &-\frac{\cos(n+1)\frac{\pi}{2n}}{n+1} + \frac{\cos(n-1)\frac{\pi}{2n}}{n-1} \\ &= -\frac{\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2n})}{n+1} + \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2n})}{n-1} \\ &= -\frac{-\sin\frac{\pi}{2n}}{n+1} + \frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{n-1} \\ &= \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1} \right) \sin\frac{\pi}{2n} \\ &= \frac{2n}{n^2-1}\sin\frac{\pi}{2n} \end{aligned} $$

また、$\theta = 0$ を代入した値は、

$$ -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1} = \frac{-(n-1)+(n+1)}{n^2-1} = \frac{2}{n^2-1} $$

したがって、積分の値は、

$$ \begin{aligned} I_n &= 2 \left( \frac{2n}{n^2-1}\sin\frac{\pi}{2n} - \frac{2}{n^2-1} \right) \\ &= \frac{4}{n^2-1} \left( n\sin\frac{\pi}{2n} - 1 \right) \end{aligned} $$

(3)

(2) の結果を用いると、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{x_n}^2 f_n(x) dx &= \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2-1} \left( n\sin\frac{\pi}{2n} - 1 \right) \\ &= 4 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{n^2}} \left( \frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}} \cdot \frac{\pi}{2} - 1 \right) \end{aligned} $$

$n \to \infty$ のとき $\frac{\pi}{2n} \to 0$ であるから、極限の公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{x_n}^2 f_n(x) dx &= 4 \cdot \frac{1}{1 - 0} \cdot \left( 1 \cdot \frac{\pi}{2} - 1 \right) \\ &= 2\pi - 4 \end{aligned} $$

解説

本問は「チェビシェフ多項式」と呼ばれる、入試数学における頻出テーマを題材としています。多項式の問題でありながら、三角関数の置換によって非常に見通しよく解き進められることが最大の特徴です。 (1) および (2) では、積和・和積の公式や加法定理を正確に運用する力が問われています。 (3) は極限計算の定石である「$\frac{\sin x}{x}$ の形を作る」ことに気づけば、容易に計算が完遂できます。