トップ› 名古屋大学› 2007年› 理系第1問

名古屋大学 2007年理系第1問解説

方針・初手

与えられた条件に従い、上三角行列 $A$ を文字で置いて直接計算するのが確実である。 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ ($a, b, d$ は実数) とおき、行列の積を計算して各成分を比較し、連立方程式を解く。

解法1

上三角行列 $A$ を $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ （$a, b, d$ は実数）とおく。

(1)

$A^2$ を計算すると

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & b(a+d) \\ 0 & d^2 \end{pmatrix} $$

となる。$A^2 = E$ であるから、各成分を比較して

$$ \begin{cases} a^2 = 1 \\ b(a+d) = 0 \\ d^2 = 1 \end{cases} $$

を得る。$a^2=1, d^2=1$ より、$a = \pm 1, d = \pm 1$ である。これらについて場合分けを行う。

(i) $a = 1, d = 1$ のとき第2式より $2b = 0 \iff b = 0$ である。よって、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(ii) $a = 1, d = -1$ のとき第2式より $0 \cdot b = 0$ となり、$b$ は任意の実数である。よって、$A = \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(iii) $a = -1, d = 1$ のとき第2式より $0 \cdot b = 0$ となり、$b$ は任意の実数である。よって、$A = \begin{pmatrix} -1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(iv) $a = -1, d = -1$ のとき第2式より $-2b = 0 \iff b = 0$ である。よって、$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

以上より、求める上三角行列 $A$ は $A = \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \pm \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ （ただし、$b$ は任意の実数、複号任意）

(2)

(1)の計算結果を用いて $A^3$ を計算すると

$$ A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} a^2 & b(a+d) \\ 0 & d^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & a^2b + b(a+d)d \\ 0 & d^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & b(a^2+ad+d^2) \\ 0 & d^3 \end{pmatrix} $$

となる。$A^3 = E$ であるから、各成分を比較して

$$ \begin{cases} a^3 = 1 \\ b(a^2+ad+d^2) = 0 \\ d^3 = 1 \end{cases} $$

を得る。$a, d$ は実数であるから、$a^3=1, d^3=1$ より $a=1, d=1$ である。これを第2式に代入すると

$$ b(1^2 + 1\cdot 1 + 1^2) = 0 \iff 3b = 0 \iff b = 0 $$

となる。したがって、求める上三角行列 $A$ は

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

(3)

$A^4 = (A^2)^2 = E$ が成り立つ。 (1)での計算結果より、$A^2$ は

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a^2 & b(a+d) \\ 0 & d^2 \end{pmatrix} $$

という形の上三角行列である。ここで、$p = a^2, q = b(a+d), r = d^2$ とおくと、$A^2 = \begin{pmatrix} p & q \\ 0 & r \end{pmatrix}$ と表せる。$a, d$ は実数であるから、$p \geqq 0, r \geqq 0$ であることに注意する。

このとき、$(A^2)^2$ は

$$ (A^2)^2 = \begin{pmatrix} p & q \\ 0 & r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & q \\ 0 & r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p^2 & q(p+r) \\ 0 & r^2 \end{pmatrix} $$

となる。$(A^2)^2 = A^4 = E$ より、各成分を比較して

$$ \begin{cases} p^2 = 1 \\ q(p+r) = 0 \\ r^2 = 1 \end{cases} $$

を得る。$p \geqq 0, r \geqq 0$ であるから、$p^2=1, r^2=1$ より $p=1, r=1$ である。これらを第2式に代入すると

$$ q(1+1) = 0 \iff 2q = 0 \iff q = 0 $$

となる。したがって、$p=1, q=0, r=1$ となり

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$

となることが示された。

解説

2行2列の行列の累乗は、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて次数下げを行うのが定石の一つであるが、本問のような上三角行列の場合は直接成分を計算する方が簡潔に済むことが多い。上三角行列同士の積は再び上三角行列になり、その対角成分は元の行列の対角成分の積となるという性質を意識して計算すると見通しが良い。 (3)では、$(A^2)^2 = E$ という形に着目し、(1)と同様の計算に持ち込むことで鮮やかに証明できる。その際、$p=a^2 \geqq 0, r=d^2 \geqq 0$ という実数の二乗の性質が効いてくる点に注意したい。