名古屋大学 1995年 文系 第4問 解説

方針・初手

ケーリー・ハミルトンの定理を用いて、$A^2$ と $A$ の関係式を導くのが基本となる。与えられた行列 $A$ の行列式が $0$ であることに気づくと、関係式が $A^2 = kA$ の形になり見通しが良くなる。(1)ではこの関係式と与えられた条件から係数を決定し、(2)では $A \vec{x} = \vec{0}$ から成分の条件を絞り込んだ上で、次数下げを利用して $A$ を決定する。

解法1

(1)

行列 $A$ において、ケーリー・ハミルトンの定理より、

$$ A^2 - (1+ab)A + (1 \cdot ab - a \cdot b)E = O $$

$$ A^2 - (1+ab)A = O $$

が成り立つ（$E$ は2次の単位行列、$O$ は2次の零行列）。

この式の両辺に右から $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を掛けると、

$$ A^2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} - (1+ab)A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

条件より $A^2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であるから、

$$ -(1+ab)A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

となる。ここで条件より $A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であるから、スカラー倍の部分について

$$ -(1+ab) = 0 $$

$$ 1+ab = 0 $$

でなければならない。これを先ほどのケーリー・ハミルトンの定理の式に代入すると、

$$ A^2 - 0 \cdot A = O $$

$$ A^2 = O $$

となり、示された。

(2)

条件 $A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より、

$$ \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & ab \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 - a \\ b - ab \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

よって、

$$ 1 - a = 0 $$

$$ b - ab = 0 $$

これより、$a = 1$ となり、このとき第2式 $b(1-1) = 0$ も満たされる。したがって、行列 $A$ は

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ b & b \end{pmatrix} $$

となる。(1)と同様にケーリー・ハミルトンの定理より $A^2 = (1+ab)A$ が成り立つので、$a=1$ を代入して、

$$ A^2 = (1+b)A $$

を得る。これを用いて $A^3$ を変形すると、

$$ A^3 = A \cdot A^2 = A(1+b)A = (1+b)A^2 = (1+b)^2 A $$

となる。これを条件 $A^3 - 4A = O$ に代入すると、

$$ (1+b)^2 A - 4A = O $$

$$ \{(1+b)^2 - 4\}A = O $$

$$ (b^2 + 2b - 3)A = O $$

$$ (b+3)(b-1)A = O $$

ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ b & b \end{pmatrix}$ は $(1, 1)$ 成分が $1$ であるため零行列ではない。よって、

$$ (b+3)(b-1) = 0 $$

$$ b = 1, -3 $$

となる。

(i) $b = 1$ のとき

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

であり、

$$ A^2 = (1+1)A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} $$

となる。

(ii) $b = -3$ のとき

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} $$

であり、

$$ A^2 = (1-3)A = -2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 6 & 6 \end{pmatrix} $$

となる。

解説

2次正方行列の問題において、ケーリー・ハミルトンの定理は非常に強力なツールとなる。本問では行列式が $0$ になるため、$A^2 = kA$ というシンプルな形に変形できることがポイントである。これを利用して次数の高い行列を1次式に下げる「次数下げ」の計算は、行列問題の典型的な処理である。また、一般に行列の積においては $XY = O$ から $X=O$ または $Y=O$ と結論づけることはできない（零因子が存在するため）が、本問の(1)のように片方が零ベクトルでないことが保証されている場合や、(2)の最後の計算のように片方がスカラーの係数である場合は結論を導くことができる。

答え

(1) 略解（本文参照）

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ または $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}, A^2 = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}$