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東京工業大学 2008年理系第3問解説

方針・初手

サイコロの各目が出る確率を変数で置き、与えられた条件式を定式化する。

$k$ の目が出る確率を $p_k$ $(k=1, 2, \cdots, 6)$ とおくと、$p_k \geqq 0$ かつ $\sum_{k=1}^6 p_k = 1$ が成り立つ。このとき、2回ふって同じ目が出る確率 $P$ は各目が2回続けて出る確率の和であり、$P = \sum_{k=1}^6 p_k^2$ と表せる。また、$1$ 回目に奇数、$2$ 回目に偶数が出る確率 $Q$ は、$Q = (p_1+p_3+p_5)(p_2+p_4+p_6)$ となる。

ここから、不等式の証明に適した形への変形や、コーシー・シュワルツの不等式などを活用して評価していく。

解法1

サイコロの $k$ の目が出る確率を $p_k$ $(k=1, 2, \cdots, 6)$ とする。確率の性質より、各 $k$ について $p_k \geqq 0$ であり、

$$ \sum_{k=1}^6 p_k = 1 $$

が成り立つ。

2回ふって同じ目が出る確率 $P$ は、

$$ P = \sum_{k=1}^6 p_k^2 $$

と表される。また、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率 $Q$ は、奇数が出る確率を $x = p_1 + p_3 + p_5$、偶数が出る確率を $y = p_2 + p_4 + p_6$ とおくと、

$$ Q = xy $$

と表される。ここで、$x \geqq 0, y \geqq 0$ であり、$x + y = \sum_{k=1}^6 p_k = 1$ である。

(1)

すべての実数 $p_k$ に対して $\left( p_k - \frac{1}{6} \right)^2 \geqq 0$ が成り立つため、これらの和についても、

$$ \sum_{k=1}^6 \left( p_k - \frac{1}{6} \right)^2 \geqq 0 $$

が成り立つ。左辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^6 \left( p_k^2 - \frac{1}{3}p_k + \frac{1}{36} \right) &= \sum_{k=1}^6 p_k^2 - \frac{1}{3} \sum_{k=1}^6 p_k + 6 \cdot \frac{1}{36} \\ &= P - \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{6} \\ &= P - \frac{1}{6} \end{aligned} $$

となる。したがって、$P - \frac{1}{6} \geqq 0$ より $P \geqq \frac{1}{6}$ が示された。

また、等号が成立するのは $\sum_{k=1}^6 \left( p_k - \frac{1}{6} \right)^2 = 0$ のときであり、これは各 $k$ について $p_k - \frac{1}{6} = 0$ となることと同値である。よって、等号が成立するための必要十分条件は $p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6}$ である。

(2)

まず、$Q \leqq \frac{1}{4}$ を示す。 $y = 1 - x$ であるから、

$$ \begin{aligned} Q &= x(1 - x) \\ &= - \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} \end{aligned} $$

$x$ は実数であるから $- \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 \leqq 0$ となり、$Q \leqq \frac{1}{4}$ が成り立つ。

次に、$Q \geqq \frac{1}{2} - \frac{3}{2}P$ を示す。コーシー・シュワルツの不等式 $(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2) \geqq (ad+be+cf)^2$ より、

$$ (1^2 + 1^2 + 1^2)(p_1^2 + p_3^2 + p_5^2) \geqq (1 \cdot p_1 + 1 \cdot p_3 + 1 \cdot p_5)^2 $$

すなわち、

$$ 3(p_1^2 + p_3^2 + p_5^2) \geqq x^2 $$

が成り立つ。同様に偶数についても、

$$ 3(p_2^2 + p_4^2 + p_6^2) \geqq y^2 $$

が成り立つ。これら2つの不等式の辺々を足し合わせると、

$$ 3 \sum_{k=1}^6 p_k^2 \geqq x^2 + y^2 $$

となる。ここで左辺は $3P$ であり、右辺は $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 1^2 - 2Q = 1 - 2Q$ と変形できるので、

$$ 3P \geqq 1 - 2Q $$

となる。この不等式を整理すると、

$$ 2Q \geqq 1 - 3P $$

$$ Q \geqq \frac{1}{2} - \frac{3}{2}P $$

となり、示された。以上より、$\frac{1}{4} \geqq Q \geqq \frac{1}{2} - \frac{3}{2}P$ である。

解説

確率の基本性質を利用して、事象を文字式で表現する代数的な処理能力を問う問題である。

（1）については、上記解答のように平方完成を用いて $\left( p_k - \frac{1}{6} \right)^2 \geqq 0$ の和を作る発想が最も簡明である。これは「データの分散が $0$ 以上になる」という統計の事実を数式化したものと同じ構造である。また、コーシー・シュワルツの不等式 $\left( \sum 1^2 \right) \left( \sum p_k^2 \right) \geqq \left( \sum p_k \right)^2$ を用いて一撃で示すことも可能である。

（2）については、前半部分は和が一定 ($x+y=1$) のもとで積 ($xy$) の最大値を求めるので、二次関数の最大値や相加・相乗平均の関係から容易に導ける。後半部分は、$P$ と $Q$ を結びつけるために $P$ の式を奇数グループと偶数グループに分け、それぞれにコーシー・シュワルツの不等式（あるいは $(a-b)^2 \geqq 0$ の展開式）を適用することで $x^2, y^2$ の形を作り出すのがポイントである。