名古屋大学 2016年 理系 第3問 解説

方針・初手

袋Aと袋Bに入っている玉の総数は常に4個（赤2個、白2個）であり、各袋には常に2個の玉が入っている。 したがって、袋Bに入っている赤玉の個数 $k$（$k=0, 1, 2$）が決まれば、袋Bの白玉の個数、および袋Aの赤玉・白玉の個数も完全に決定される。 まずは、袋Bの赤玉の個数 $k$ の状態に応じて、1回の操作後に袋Bの赤玉の個数がどう変化するか（推移確率）をすべて求める。その後、(1) は初期状態からの1回の遷移を計算し、(2) は $n$ 回目と $n+1$ 回目の確率の関係（連立漸化式）を立てて一般項を求める。

解法1

玉の総数は赤玉2個、白玉2個である。各操作において袋Aと袋Bの玉の個数は2個ずつに保たれる。 袋Bに赤玉が $k$ 個（$k=0, 1, 2$）ある状態を「状態 $k$」と呼ぶことにする。 状態 $k$ において、袋Bには赤玉 $k$ 個、白玉 $2-k$ 個が入っており、袋Aには赤玉 $2-k$ 個、白玉 $k$ 個が入っている。

各状態からの1回の操作による推移確率を調べる。

(i) 状態0（袋B：赤0・白2、袋A：赤2・白0）からの推移

袋Bから取り出す玉は必ず白玉である。これを袋Aに入れると、袋Aは（赤2・白1）となる。 次に袋Aから玉を1個取り出して袋Bに入れるとき、

• 赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{3}$ であり、このとき袋Bは（赤1・白1）となり、状態1へ推移する。
• 白玉を取り出す確率は $\frac{1}{3}$ であり、このとき袋Bは（赤0・白2）となり、状態0へ推移する。

(ii) 状態1（袋B：赤1・白1、袋A：赤1・白1）からの推移

袋Bから玉を取り出すとき、赤玉を選ぶ確率と白玉を選ぶ確率はともに $\frac{1}{2}$ である。

• 袋Bから赤玉を取り出した場合、袋Aは（赤2・白1）となる。 　この袋Aから赤玉を取り出して袋Bに入れる確率は $\frac{2}{3}$ であり、状態1へ推移する。 　この袋Aから白玉を取り出して袋Bに入れる確率は $\frac{1}{3}$ であり、状態0へ推移する。
• 袋Bから白玉を取り出した場合、袋Aは（赤1・白2）となる。 　この袋Aから赤玉を取り出して袋Bに入れる確率は $\frac{1}{3}$ であり、状態2へ推移する。 　この袋Aから白玉を取り出して袋Bに入れる確率は $\frac{2}{3}$ であり、状態1へ推移する。

よって、状態1からの推移確率は以下のようになる。

• 状態0へ推移する確率：$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
• 状態1へ推移する確率：$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
• 状態2へ推移する確率：$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

(iii) 状態2（袋B：赤2・白0、袋A：赤0・白2）からの推移

袋Bから取り出す玉は必ず赤玉である。これを袋Aに入れると、袋Aは（赤1・白2）となる。 次に袋Aから玉を1個取り出して袋Bに入れるとき、

• 赤玉を取り出す確率は $\frac{1}{3}$ であり、このとき袋Bは（赤2・白0）となり、状態2へ推移する。
• 白玉を取り出す確率は $\frac{2}{3}$ であり、このとき袋Bは（赤1・白1）となり、状態1へ推移する。

(1)

初期状態は、袋Aに赤玉2個、袋Bに白玉2個であるから、状態0である。 したがって、1回の操作後の確率は、(i) で求めた推移確率そのものである。

$$ P_1(0) = \frac{1}{3}, \quad P_1(1) = \frac{2}{3}, \quad P_1(2) = 0 $$

(2)

$n$ 回目の操作後に状態0, 1, 2にある確率がそれぞれ $P_n(0), P_n(1), P_n(2)$ である。 (1) の推移確率の考察から、次のような連立漸化式が成り立つ。

$$ \begin{cases} P_{n+1}(0) = \frac{1}{3} P_n(0) + \frac{1}{6} P_n(1) \\ P_{n+1}(1) = \frac{2}{3} P_n(0) + \frac{2}{3} P_n(1) + \frac{2}{3} P_n(2) \\ P_{n+1}(2) = \frac{1}{6} P_n(1) + \frac{1}{3} P_n(2) \end{cases} $$

また、すべての確率の和は常に 1 であるから、

$$ P_n(0) + P_n(1) + P_n(2) = 1 $$

が成り立つ。これを $P_{n+1}(1)$ の式に代入すると、

$$ P_{n+1}(1) = \frac{2}{3} \{ P_n(0) + P_n(1) + P_n(2) \} = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3} $$

よって、$n \ge 1$ において $P_n(1)$ は定数であり、$P_n(1) = \frac{2}{3}$ となる（これは $P_1(1) = \frac{2}{3}$ とも整合する）。

次に、$P_n(1) = \frac{2}{3}$ を $P_{n+1}(0)$ の式に代入する。

$$ P_{n+1}(0) = \frac{1}{3} P_n(0) + \frac{1}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} P_n(0) + \frac{1}{9} $$

この漸化式を変形すると、

$$ P_{n+1}(0) - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \left( P_n(0) - \frac{1}{6} \right) $$

となる。数列 $\left\{ P_n(0) - \frac{1}{6} \right\}$ は、初項 $P_1(0) - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であるから、

$$ P_n(0) - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} $$

$$ P_n(0) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \frac{1}{6} \left\{ 1 + \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right\} $$

同様に、$P_n(1) = \frac{2}{3}$ を $P_{n+1}(2)$ の式に代入する。

$$ P_{n+1}(2) = \frac{1}{3} P_n(2) + \frac{1}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} P_n(2) + \frac{1}{9} $$

この漸化式を変形すると、

$$ P_{n+1}(2) - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \left( P_n(2) - \frac{1}{6} \right) $$

となる。数列 $\left\{ P_n(2) - \frac{1}{6} \right\}$ は、初項 $P_1(2) - \frac{1}{6} = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であるから、

$$ P_n(2) - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} $$

$$ P_n(2) = \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \frac{1}{6} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right\} $$

解説

状態の推移確率を正確に計算し、連立漸化式を立てて解くという、確率漸化式の典型的な問題である。 最大の特徴は、推移確率の対称性により $P_{n+1}(1) = \frac{2}{3} \{ P_n(0) + P_n(1) + P_n(2) \}$ と表せることに気づけるかどうかである。確率の総和が 1 であることを利用すれば、$P_n(1)$ がすぐに定数 $\frac{2}{3}$ であると判明し、残りの2つの確率の漸化式も単独の2項間漸化式に帰着できる。

答え

(1)

$$ P_1(0) = \frac{1}{3}, \quad P_1(1) = \frac{2}{3}, \quad P_1(2) = 0 $$

(2)

$$ P_n(0) = \frac{1}{6} \left\{ 1 + \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right\}, \quad P_n(1) = \frac{2}{3}, \quad P_n(2) = \frac{1}{6} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right\} $$