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大阪大学 1970年文系第2問解説

方針・初手

複素数 $z = x\alpha + y\beta$（$0 \leqq x \leqq 1, 0 \leqq y \leqq 1$）が表す図形が、複素平面上で原点 $0$、点 $\alpha$、点 $\beta$、点 $\alpha+\beta$ を頂点とする平行四辺形（またはその退化した線分や点）の周および内部であることに着目する。$\alpha$ と $\beta$ を極形式や成分で表し、この平行四辺形の面積 $S$ を立式して最大値を求める。

解法1

$\alpha, \beta$ は絶対値が $1$ であるから、実数 $\theta_1, \theta_2$ を用いて

$$ \alpha = \cos \theta_1 + i \sin \theta_1, \quad \beta = \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 $$

と表すことができる。

複素平面上の原点を $0$、複素数 $\alpha, \beta$ の表す点をそれぞれ $A, B$ とおく。複素数 $z = x\alpha + y\beta \quad (0 \leqq x \leqq 1, 0 \leqq y \leqq 1)$ の表す図形は、$0, A, B$ と点 $C(\alpha+\beta)$ を頂点とする平行四辺形の周および内部である。

ただし、$\alpha, \beta$ が同一直線上にある（$\alpha = \pm \beta$ の）ときは線分または点となり、その面積は $0$ となる。

この平行四辺形の面積 $S$ は、$\triangle OAB$ の面積の $2$ 倍であるから、ベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$$ S = 2 \times \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin \theta = 1 \cdot 1 \cdot \sin \theta = \sin \theta $$

ここで、なす角 $\theta$ は $0 \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲で考えることができ、その大きさは極形式の偏角の差を用いて $\theta = |\theta_2 - \theta_1|$（の $2\pi$ で割った余り）から得られる。一般的に平行四辺形の面積は、偏角の差の正弦の絶対値を用いて次のように表される。

$$ S = |\sin(\theta_2 - \theta_1)| $$

$\alpha, \beta$ が絶対値 $1$ を保ちながら動くとき、$\theta_1, \theta_2$ は任意の実数値をとるため、$\theta_2 - \theta_1$ も任意の実数値をとる。したがって、$|\sin(\theta_2 - \theta_1)|$ は最大値 $1$ をとる。

ゆえに、面積 $S$ の最大値は $1$ である。

このとき、$|\sin(\theta_2 - \theta_1)| = 1$ であるから、整数 $n$ を用いて

$$ \theta_2 - \theta_1 = \frac{\pi}{2} + n\pi $$

が成り立つ。すなわち、

$$ \theta_2 = \theta_1 + \frac{\pi}{2} + n\pi $$

これを $\beta$ の式に代入すると、

$$ \beta = \cos\left(\theta_1 + \frac{\pi}{2} + n\pi\right) + i \sin\left(\theta_1 + \frac{\pi}{2} + n\pi\right) $$

(i) $n$ が偶数のとき

$$ \beta = \cos\left(\theta_1 + \frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\theta_1 + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta_1 + i \cos \theta_1 = i(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) = i\alpha $$

(ii) $n$ が奇数のとき

$$ \beta = \cos\left(\theta_1 + \frac{3\pi}{2}\right) + i \sin\left(\theta_1 + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin \theta_1 - i \cos \theta_1 = -i(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) = -i\alpha $$

いずれの場合も $\beta = \pm i\alpha$ と表せる。

したがって、面積が最大となるときの $\alpha^2 + \beta^2$ の値は、

$$ \alpha^2 + \beta^2 = \alpha^2 + (\pm i\alpha)^2 = \alpha^2 - \alpha^2 = 0 $$

となる。

解法2

平行四辺形の面積を、複素数の実部・虚部を用いて計算する。絶対値が $1$ の複素数 $\alpha, \beta$ を $\alpha = a + bi$、$\beta = c + di$（$a, b, c, d$ は実数）とおく。 $|\alpha| = 1, |\beta| = 1$ より、

$$ a^2 + b^2 = 1, \quad c^2 + d^2 = 1 $$

である。

複素数 $z = x\alpha + y\beta = (ax + cy) + (bx + dy)i \quad (0 \leqq x \leqq 1, 0 \leqq y \leqq 1)$ が表す図形は、座標平面におけるベクトル $(a, b)$ と $(c, d)$ で張られる平行四辺形である。この面積 $S$ は、外積の絶対値に等しく、次のように表される。

$$ S = |ad - bc| $$

ここで、恒等式 $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ を用いると、

$$ (ac+bd)^2 + S^2 = 1 \cdot 1 = 1 $$

が成り立つ。$(ac+bd)^2 \geqq 0$ であるから、

$$ S^2 \leqq 1 $$

となり、面積 $S$ は最大値 $1$ をとる。

最大値 $1$ をとるとき、等号成立条件より $(ac+bd)^2 = 0$ すなわち $ac+bd = 0$ である。このとき、複素数 $\overline{\alpha}\beta$ を計算すると、

$$ \overline{\alpha}\beta = (a - bi)(c + di) = (ac + bd) + (ad - bc)i = 0 + (\pm 1)i = \pm i $$

となる。（ここで $S = |ad-bc| = 1$ を用いた）

両辺に $\alpha$ を掛けると、

$$ \alpha \overline{\alpha} \beta = \pm i \alpha $$

$\alpha \overline{\alpha} = |\alpha|^2 = 1$ より、

$$ \beta = \pm i \alpha $$

が成り立つ。

よって、このときの $\alpha^2 + \beta^2$ の値は、

$$ \alpha^2 + \beta^2 = \alpha^2 + (\pm i \alpha)^2 = \alpha^2 - \alpha^2 = 0 $$

となる。

解説

複素平面上の点が作る図形をベクトルとして捉え、その面積の最大値を求める問題である。$x\alpha + y\beta$ の表す図形が平行四辺形になるという基本的な性質に気づけば、立式は容易である。解法1は極形式を用いて面積を偏角の差で表す素直な解法、解法2は成分計算から恒等式を利用する解法である。いずれの方針でも、最大値を取る条件が $\beta = \pm i\alpha$（つまり原点中心に $\pm 90^\circ$ 回転した関係）となることから、$\alpha^2 + \beta^2 = 0$ が容易に導かれる。