大阪大学 1997年 理系 第2問 解説

方針・初手

点$B$を原点、直線$l$を実軸（あるいは$x$軸）とする座標系を設定すると、各点の座標や表す複素数を簡潔に表現できる。回転移動が含まれるため、複素数平面を利用するか、座標平面上で回転行列や三角関数の加法定理を用いる方針が自然である。

解法1

点$B$を原点とし、直線$l$を実軸とする複素数平面を考える。 $AB \perp l$ であるから、点$A$は虚軸上にある。よって、$A$の表す複素数を $\alpha = ai$（$a$ は $a \neq 0$ を満たす実数）とおける。

直線$m$は実軸を原点中心に $\theta$ 回転した直線であるから、$m$ 上の点は実数 $t$ を用いて $t e^{i\theta}$ と表される。

点$P$の表す複素数を $z$ とする。$P$は$l$上にないので、$z$は実数ではない。 点$Q$は実軸に関して$P$と対称な点であるから、$Q$の表す複素数は $\bar{z}$ である。

点$R$は$Q$を$A$を中心に $2\theta$ 回転した点である。$R$の表す複素数を $w$ とすると、

$$ w - \alpha = (\bar{z} - \alpha) e^{2i\theta} $$

すなわち、

$$ w = \alpha + (\bar{z} - \alpha) e^{2i\theta} $$

となる。

線分$PR$の中点$M$の表す複素数を $\gamma$ とすると、

$$ \gamma = \frac{z + w}{2} = \frac{1}{2} \{ z + \alpha + (\bar{z} - \alpha) e^{2i\theta} \} $$

点$M$が直線$m$上にあることを示すためには、複素数 $\gamma e^{-i\theta}$ が実数であること、すなわち $\overline{\gamma e^{-i\theta}} = \gamma e^{-i\theta}$ が成り立つことを示せばよい。 ここで、

$$ \gamma e^{-i\theta} = \frac{1}{2} \{ (z + \alpha) e^{-i\theta} + (\bar{z} - \alpha) e^{i\theta} \} $$

である。$\alpha = ai$（$a$ は実数）より $\bar{\alpha} = -ai = -\alpha$ であることに注意すると、

$$ \overline{(z + \alpha) e^{-i\theta}} = (\bar{z} + \bar{\alpha}) e^{i\theta} = (\bar{z} - \alpha) e^{i\theta} $$

が成り立つ。これを用いると、

$$ \gamma e^{-i\theta} = \frac{1}{2} \{ (z + \alpha) e^{-i\theta} + \overline{(z + \alpha) e^{-i\theta}} \} $$

と表せる。 一般に、任意の複素数 $Z$ について $\frac{1}{2}(Z + \bar{Z})$ は $Z$ の実部を表すため実数となる。 したがって、$\gamma e^{-i\theta}$ は実数である。

ゆえに、点$M$は原点を通り実軸と角 $\theta$ をなす直線上、すなわち直線$m$上にある。

解法2

点$B$を原点 $(0, 0)$ とし、直線$l$を $x$ 軸とする $xy$ 座標平面を考える。 $AB \perp l$ より、点$A$は $y$ 軸上にある。$A$の座標を $(0, a)$（$a \neq 0$）とおく。

直線$m$は原点を通り、$x$ 軸と角 $\theta$ をなす直線であるから、その方程式は

$$ x \sin\theta - y \cos\theta = 0 $$

である。

点$P$の座標を $(p, q)$（$q \neq 0$）とする。 点$Q$は $x$ 軸に関して$P$と対称な点であるから、$Q$の座標は $(p, -q)$ である。

点$R$の座標を $(X, Y)$ とすると、$R$は$Q$を$A(0, a)$を中心に $2\theta$ 回転した点であるから、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p - 0 \\ -q - a \end{pmatrix} $$

が成り立つ。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} X &= p \cos 2\theta - (-q - a) \sin 2\theta = p \cos 2\theta + (q + a) \sin 2\theta \\ Y &= a + p \sin 2\theta + (-q - a) \cos 2\theta = a + p \sin 2\theta - (q + a) \cos 2\theta \end{aligned} $$

となる。

線分$PR$の中点$M$の座標を $(x_m, y_m)$ とすると、

$$ \begin{aligned} x_m &= \frac{p + X}{2} = \frac{1}{2} \{ p(1 + \cos 2\theta) + (q + a) \sin 2\theta \} \\ y_m &= \frac{q + Y}{2} = \frac{1}{2} \{ q + a + p \sin 2\theta - (q + a) \cos 2\theta \} \end{aligned} $$

ここで、半角・倍角の公式 $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2\theta$、$1 - \cos 2\theta = 2\sin^2\theta$、$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いると、

$$ \begin{aligned} x_m &= p \cos^2\theta + (q + a) \sin\theta \cos\theta \\ y_m &= (q + a) \sin^2\theta + p \sin\theta \cos\theta \end{aligned} $$

と整理できる。

点$M$が直線$m$上にあるかどうかを確認するため、$x_m \sin\theta - y_m \cos\theta$ を計算する。

$$ \begin{aligned} x_m \sin\theta - y_m \cos\theta &= \{ p \cos^2\theta + (q + a) \sin\theta \cos\theta \} \sin\theta - \{ (q + a) \sin^2\theta + p \sin\theta \cos\theta \} \cos\theta \\ &= p \sin\theta \cos^2\theta + (q + a) \sin^2\theta \cos\theta - (q + a) \sin^2\theta \cos\theta - p \sin\theta \cos^2\theta \\ &= 0 \end{aligned} $$

よって、点$M(x_m, y_m)$ は直線 $x \sin\theta - y \cos\theta = 0$、すなわち直線$m$上にある。

解説

図形的な意味を座標や数式に翻訳して処理する問題である。 点$B$が$l$上にあり、$AB \perp l$ という条件から、点$B$を原点、直線$l$を実軸（または$x$軸）とする設定が最も計算を楽にする。

回転移動が多く登場するため、複素数平面を用いるのが非常に有効である。複素数平面では、「点$M$が直線$m$上にある」という条件を「$\gamma e^{-i\theta}$ が実数である」と言い換えることで、共役複素数の性質を用いた鮮やかな証明が可能となる。

一方、座標平面上で回転行列と三角関数の公式（倍角・半角の公式）を用いる方針でも、計算はやや煩雑になるものの、特別な閃きを必要とせずに結論にたどり着くことができる。いずれの方法を選ぶにせよ、設定した座標系の中で適切に立式し、丁寧に計算を進められるかが問われている。

答え

線分$PR$の中点$M$は直線$m$上にあることが示された。