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大阪大学 1972年理系第5問解説

方針・初手

与えられた3項間漸化式から一般項 $a_n$ を求める。(1)では特性方程式ではなく、$a_{n+1} - a_n$ の形を作り出して階差数列を利用するか、隣接項の差をまとめていくアプローチが有効である。(2)は無限等比級数の和の公式を用いて $a_0$ を消去し、$n$ の式と $r = \frac{\sin \theta}{\theta}$ だけの関数として最大値を考える。微分法を用いて最大値を求めるが、$n$ の値による極値の定義域内への包含関係に注意して場合分けを行う。

解法1

(1)

与えられた $n \geqq 1$ の漸化式

$$ (\sin \theta)a_{n-1} - (\theta + \sin \theta)a_n + \theta a_{n+1} = 0 $$

を変形すると、

$$ \theta (a_{n+1} - a_n) = (\sin \theta)(a_n - a_{n-1}) $$

$$ a_{n+1} - a_n = \frac{\sin \theta}{\theta} (a_n - a_{n-1}) $$

となる。また、与えられたもう一つの関係式 $(\sin \theta)a_0 - \theta a_1 = 0$ より、

$$ a_1 = \frac{\sin \theta}{\theta} a_0 $$

となるため、

$$ a_1 - a_0 = \left(\frac{\sin \theta}{\theta} - 1\right)a_0 $$

である。これにより数列 $\{a_{n+1} - a_n\}$ は、初項が $\left(\frac{\sin \theta}{\theta} - 1\right)a_0$、公比が $\frac{\sin \theta}{\theta}$ の等比数列となる。

したがって、$n \geqq 1$ のとき、

$$ a_n - a_{n-1} = \left(\frac{\sin \theta}{\theta}\right)^{n-1} \left(\frac{\sin \theta}{\theta} - 1\right)a_0 $$

となる。ゆえに $n \geqq 1$ に対して、一般項 $a_n$ は

$$ a_n = a_0 + \sum_{k=1}^n \left\{ \left(\frac{\sin \theta}{\theta}\right)^{k-1} \left(\frac{\sin \theta}{\theta} - 1\right)a_0 \right\} $$

ここで $r = \frac{\sin \theta}{\theta}$ とおくと、

$$ a_n = a_0 + a_0(r - 1)\sum_{k=1}^n r^{k-1} $$

$$ a_n = a_0 + a_0(r - 1) \frac{1 - r^n}{1 - r} $$

$$ a_n = a_0 - a_0(1 - r^n) = a_0 r^n $$

この式は $n=0$ のときも $a_0 = a_0 r^0 = a_0$ となり成立する。よって、一般項は

$$ a_n = a_0 \left(\frac{\sin \theta}{\theta}\right)^n $$

次に、$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ が収束することを示す。

$0 < \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、関数 $f(\theta) = \theta - \sin \theta$ を考える。

$$ f'(\theta) = 1 - \cos \theta $$

$\theta > 0$ より $f'(\theta) > 0$（ただし $\theta=0$ で等号成立）となり、$f(\theta)$ は単調に増加する。よって $0 < \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $f(\theta) > f(0) = 0$ であり、$\sin \theta < \theta$ が成り立つ。

また、この範囲において $\sin \theta > 0$、$\theta > 0$ であるから、

$$ 0 < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 $$

が成り立つ。数列 $\{a_n\}$ は公比 $\frac{\sin \theta}{\theta}$ の等比数列であり、その公比の絶対値が $1$ より小さいため、無限級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ は収束する。

(2)

(1)より、数列 $\{a_n\}$ は公比 $r = \frac{\sin \theta}{\theta}$ の無限等比数列であり、その無限級数の和は

$$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n = \frac{a_0}{1 - r} $$

となる。条件よりこの値が $1$ であるから、

$$ \frac{a_0}{1 - r} = 1 \iff a_0 = 1 - r $$

したがって、$n \geqq 1$ における $a_n$ は

$$ a_n = (1 - r)r^n $$

と表せる。ここで、$r$ のとりうる値の範囲を調べる。関数 $g(\theta) = \frac{\sin \theta}{\theta}$ とおくと、

$$ g'(\theta) = \frac{\theta \cos \theta - \sin \theta}{\theta^2} = \frac{\cos \theta (\theta - \tan \theta)}{\theta^2} $$

$0 < \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\tan \theta > \theta$ であることが知られており（関数 $\tan \theta - \theta$ の微分により証明可能）、またこの範囲で $\cos \theta \geqq 0$（$\theta = \frac{\pi}{2}$ のみ $\cos \theta = 0$ となり、そのとき分子は $-\sin \frac{\pi}{2} = -1 < 0$）であるから、常に $g'(\theta) < 0$ が成り立つ。

ゆえに $g(\theta)$ は単調減少する。$\lim_{\theta \to +0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ であり、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2}{\pi}$ であるため、$r$ のとりうる値の範囲は

$$ \frac{2}{\pi} \leqq r < 1 $$

となる。

ここで、関数 $F(r) = (1 - r)r^n$ $\left(\frac{2}{\pi} \leqq r < 1\right)$ の最大値を求める。

$$ F'(r) = -r^n + n(1 - r)r^{n-1} = r^{n-1} \{ n - (n+1)r \} $$

$r > 0$ において $F'(r) = 0$ となるのは $r = \frac{n}{n+1}$ のときである。$r = \frac{n}{n+1}$ が定義域 $\frac{2}{\pi} \leqq r < 1$ に含まれるかどうかで場合分けを行う。

(i)

$n = 1$ のとき

$r = \frac{1}{2}$ であるが、$\frac{2}{\pi} \approx 0.63$ より $\frac{1}{2} < \frac{2}{\pi}$ であり、これは定義域の範囲外である。

定義域 $\frac{2}{\pi} \leqq r < 1$ においては常に $r > \frac{1}{2}$ であるから、$F'(r) < 0$ となり、$F(r)$ は単調減少する。

したがって、$F(r)$ は $r = \frac{2}{\pi}$ のときに最大となる。

$$ F\left(\frac{2}{\pi}\right) = \left(1 - \frac{2}{\pi}\right)\frac{2}{\pi} = \frac{2(\pi - 2)}{\pi^2} $$

(ii)

$n \geqq 2$ のとき

$r = \frac{n}{n+1}$ について、$n=2$ のとき $\frac{2}{3}$ であり、$\frac{2}{3} - \frac{2}{\pi} = \frac{2(\pi - 3)}{3\pi} > 0$ より $\frac{2}{3} > \frac{2}{\pi}$ である。よって $n \geqq 2$ のすべての整数において $\frac{n}{n+1} > \frac{2}{\pi}$ が成り立つため、$r = \frac{n}{n+1}$ は定義域 $\frac{2}{\pi} \leqq r < 1$ に含まれる。

増減表をかくと、$F(r)$ は $r = \frac{n}{n+1}$ のときに最大となることがわかる。

$$ F\left(\frac{n}{n+1}\right) = \left(1 - \frac{n}{n+1}\right) \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} $$

解説

本問は、漸化式から一般項を導出し、その後に無限級数や関数の最大値を考える総合問題である。(1)では、与えられた漸化式の係数に着目して $a_{n+1} - a_n$ と $a_n - a_{n-1}$ の形を上手く作り出せるかが鍵となる。(2)は微分法を用いた最大値問題の定石に則るが、$x$ 座標にあたる $r$ の変域に制限があるため、微分して得た極値をとる $r$ がその定義域に含まれるかどうかの検証を怠ってはならない。特に $n=1$ が変域外になるというトラップに気づけるかがポイントである。