東京大学 1975年 理系 第4問 解説

方針・初手

与えられた漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{2+a_n}$ に対して、$a_n = 2\sin\theta_n$ を代入し、三角関数の等式を用いて $\theta_{n+1}$ と $\theta_n$ の関係式（漸化式）を導く。

根号を外すために、$1+\sin\theta_n$ の形を変形する必要がある。このとき、三角関数の合成を用いる方法と、$\sin$ を $\cos$ に変換してから半角の公式（倍角の公式）を用いる方法の2つのアプローチが考えられる。

解法1

$a_n = 2\sin\theta_n$ $\left(0 < \theta_n < \frac{\pi}{2}\right)$ と表されることを、数学的帰納法によって示しながら $\theta_n$ を求める。

$n=1$ のとき、条件より $a_1 = \sqrt{2}$ であるから

$$ 2\sin\theta_1 = \sqrt{2} $$

$0 < \theta_1 < \frac{\pi}{2}$ より

$$ \theta_1 = \frac{\pi}{4} $$

となり、$n=1$ のときに条件を満たす $\theta_1$ が存在する。

次に、$n=k$ のとき、$0 < \theta_k < \frac{\pi}{2}$ を満たす $\theta_k$ を用いて $a_k = 2\sin\theta_k$ と表せると仮定する。このとき、漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{2+a_n}$ に代入すると

$$ a_{k+1} = \sqrt{2+2\sin\theta_k} $$

根号の中を平方完成するために、次のように変形する。

$$ 2+2\sin\theta_k = 2\left(\sin^2\frac{\theta_k}{2} + \cos^2\frac{\theta_k}{2} + 2\sin\frac{\theta_k}{2}\cos\frac{\theta_k}{2}\right) = 2\left(\sin\frac{\theta_k}{2} + \cos\frac{\theta_k}{2}\right)^2 $$

ここで、$0 < \theta_k < \frac{\pi}{2}$ より $\sin\frac{\theta_k}{2} > 0$, $\cos\frac{\theta_k}{2} > 0$ であるから、$\sin\frac{\theta_k}{2} + \cos\frac{\theta_k}{2} > 0$ となる。したがって、根号を外すと

$$ a_{k+1} = \sqrt{2}\left(\sin\frac{\theta_k}{2} + \cos\frac{\theta_k}{2}\right) $$

三角関数の合成を用いると

$$ a_{k+1} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\sin\left(\frac{\theta_k}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\sin\left(\frac{\theta_k}{2} + \frac{\pi}{4}\right) $$

となる。ここで

$$ \theta_{k+1} = \frac{\theta_k}{2} + \frac{\pi}{4} $$

とおくと、$a_{k+1} = 2\sin\theta_{k+1}$ と表される。さらに $0 < \theta_k < \frac{\pi}{2}$ であるから

$$ \frac{\pi}{4} < \frac{\theta_k}{2} + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} $$

すなわち $\frac{\pi}{4} < \theta_{k+1} < \frac{\pi}{2}$ となり、$0 < \theta_{k+1} < \frac{\pi}{2}$ の条件も満たす。

以上より、すべての自然数 $n$ について $0 < \theta_n < \frac{\pi}{2}$ かつ $a_n = 2\sin\theta_n$ となる $\theta_n$ が存在し、数列 $\{\theta_n\}$ は次の漸化式を満たす。

$$ \theta_{n+1} = \frac{1}{2}\theta_n + \frac{\pi}{4}, \quad \theta_1 = \frac{\pi}{4} $$

この特性方程式 $\alpha = \frac{1}{2}\alpha + \frac{\pi}{4}$ を解くと $\alpha = \frac{\pi}{2}$ となるから、漸化式は次のように変形できる。

$$ \theta_{n+1} - \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}\left(\theta_n - \frac{\pi}{2}\right) $$

よって、数列 $\left\{\theta_n - \frac{\pi}{2}\right\}$ は初項 $\theta_1 - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$$ \theta_n - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = -\frac{\pi}{2^{n+1}} $$

ゆえに

$$ \theta_n = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2^{n+1}} $$

最後に、極限を求める。

$$ \lim_{n \to \infty} \theta_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2^{n+1}}\right) = \frac{\pi}{2} $$

解法2

根号の処理において、余角の公式と半角の公式を利用する方法を示す。

解法1と同様に $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ を得る。

漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{2+a_n}$ に $a_n = 2\sin\theta_n$ を代入すると

$$ a_{n+1} = \sqrt{2+2\sin\theta_n} $$

$\sin\theta_n = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta_n\right)$ より

$$ a_{n+1} = \sqrt{2 + 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta_n\right)} $$

半角の公式（$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}$）より $1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ であるから、$x = \frac{\pi}{2} - \theta_n$ として適用すると

$$ a_{n+1} = \sqrt{4\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta_n}{2}\right)} = 2\left|\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta_n}{2}\right)\right| $$

帰納的に $0 < \theta_n < \frac{\pi}{2}$ が成り立つとすると、$0 < \frac{\theta_n}{2} < \frac{\pi}{4}$ より

$$ 0 < \frac{\pi}{4} - \frac{\theta_n}{2} < \frac{\pi}{4} $$

したがって $\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta_n}{2}\right) > 0$ であるから、絶対値記号はそのまま外すことができる。

$$ a_{n+1} = 2\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta_n}{2}\right) $$

再び余角の公式 $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ を用いると

$$ a_{n+1} = 2\sin\left\{\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta_n}{2}\right)\right\} = 2\sin\left(\frac{\theta_n}{2} + \frac{\pi}{4}\right) $$

よって、$a_{n+1} = 2\sin\theta_{n+1}$ と比較して $\theta_{n+1} = \frac{1}{2}\theta_n + \frac{\pi}{4}$ を得る。（以下、解法1と同じ）

解説

本問は、漸化式で定められた数列を三角関数を用いて置換することで、角度の漸化式に帰着させる典型的な問題である。置換の形が最初から $a_n = 2\sin\theta_n$ と与えられているため、比較的見通しよく解くことができる。

最大のポイントは $a_{n+1} = \sqrt{2+2\sin\theta_n}$ の根号をいかにして外すかである。 解法1のように $\left(\sin\frac{\theta_n}{2} + \cos\frac{\theta_n}{2}\right)^2$ と平方完成して合成につなぐ変形と、解法2のように $\sin$ を $\cos$ に直して $\sqrt{2(1+\cos x)}$ の形を作り半角の公式（倍角の公式の逆）を用いる変形の、どちらも自然な発想として身につけておきたい手法である。

根号を外す際、中身が正であることを確認する手順（本問では $0 < \theta_n < \frac{\pi}{2}$ を用いる）を省略しないことが、正確な論理展開のために重要となる。

答え

$$ \theta_n = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2^{n+1}} $$

$$ \lim_{n \to \infty} \theta_n = \frac{\pi}{2} $$