大阪大学 1966年 理系 第4問 解説

方針・初手

点 $A_n, B_n, C_n$ は、それぞれ辺 $BC, CA, AB$ 上の点であり、各ステップで同じ規則に従って次の点が定まる構造をしている。まずは $\triangle ABA_1$ などの端の三角形に着目して正弦定理を用いることで、前の点と次の点との距離の関係式（漸化式）を導くのが定石である。

解法1

(1)

$\triangle ABA_1$ において、$\angle B = 60^\circ$、$\angle BAA_1 = \theta$ であるから、内角の和より

$$\angle AA_1B = 180^\circ - (60^\circ + \theta) = 120^\circ - \theta$$

となる。この $\triangle ABA_1$ に正弦定理を適用すると

$$\frac{BA_1}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin(120^\circ - \theta)}$$

$BA_1 = b$、$AB = a$ であるため、次が成り立つ。

$$\frac{b}{\sin \theta} = \frac{a}{\sin(120^\circ - \theta)}$$

これを変形し、$\frac{\sin \theta}{\sin(120^\circ - \theta)} = \frac{b}{a}$ を得る。

次に、$\triangle CA_1B_1$ について考える。$\angle C = 60^\circ$、$\angle CA_1B_1 = \theta$ であるから、同様に

$$\angle CB_1A_1 = 180^\circ - (60^\circ + \theta) = 120^\circ - \theta$$

正弦定理を用いると

$$\frac{CB_1}{\sin \theta} = \frac{CA_1}{\sin(120^\circ - \theta)}$$

$$CB_1 = CA_1 \cdot \frac{\sin \theta}{\sin(120^\circ - \theta)}$$

ここで、$\frac{\sin \theta}{\sin(120^\circ - \theta)} = \frac{b}{a}$ であり、$CA_1 = a - BA_1$ であるから

$$CB_1 = \frac{b}{a} (a - BA_1)$$

が成り立つ。点 $A_n, B_n, C_n$ の定め方の対称性から、これ以降の点についても全く同様の議論が成り立つ。したがって、任意の自然数 $n$ について以下の連立漸化式が得られる。

$$\begin{cases} CB_n = \frac{b}{a} (a - BA_n) \\ AC_n = \frac{b}{a} (a - CB_n) \\ BA_{n+1} = \frac{b}{a} (a - AC_n) \end{cases}$$

この漸化式から $BA_n$ についての式を導く。計算を簡略化するため、$r = \frac{b}{a}$ とおくと

$$CB_n = r(a - BA_n)$$

$$AC_n = r(a - CB_n) = r\{a - r(a - BA_n)\} = ar(1 - r) + r^2 BA_n$$

$$BA_{n+1} = r(a - AC_n) = r\{a - ar(1 - r) - r^2 BA_n\} = ar(1 - r + r^2) - r^3 BA_n$$

この $BA_n$ に関する漸化式を変形する。特性方程式 $\alpha = ar(1 - r + r^2) - r^3 \alpha$ を解くと

$$\alpha(1 + r^3) = ar(1 - r + r^2)$$

$$\alpha(1 + r)(1 - r + r^2) = ar(1 - r + r^2)$$

ここで、$0 < \theta < 30^\circ$ より $b > 0, a > 0$ であるため $r > 0$ であり、$1 - r + r^2 > 0$ である。両辺を割って

$$\alpha = \frac{ar}{1 + r}$$

$r = \frac{b}{a}$ を代入すると、$\alpha = \frac{a \cdot \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}} = \frac{ab}{a+b}$ となる。これを用いて漸化式を変形すると

$$BA_{n+1} - \frac{ab}{a+b} = (-r^3) \left( BA_n - \frac{ab}{a+b} \right)$$

これは公比 $-r^3 = -\frac{b^3}{a^3}$ の等比数列であることを示す。初項は

$$BA_1 - \frac{ab}{a+b} = b - \frac{ab}{a+b} = \frac{b^2}{a+b}$$

よって、$BA_n$ の一般項は

$$BA_n = \frac{ab}{a+b} + \frac{b^2}{a+b} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^{n-1}$$

続いて $CB_n, AC_n$ を求める。$CB_n = \frac{b}{a} (a - BA_n)$ に代入して

$$\begin{aligned} CB_n &= b - \frac{b}{a} \left\{ \frac{ab}{a+b} + \frac{b^2}{a+b} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^{n-1} \right\} \\ &= b - \frac{b^2}{a+b} - \frac{b^3}{a(a+b)} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^{n-1} \\ &= \frac{ab}{a+b} + \frac{a^2}{a+b} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^n \end{aligned}$$

さらに $AC_n = \frac{b}{a} (a - CB_n)$ に代入して

$$\begin{aligned} AC_n &= b - \frac{b}{a} \left\{ \frac{ab}{a+b} + \frac{a^2}{a+b} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^n \right\} \\ &= b - \frac{b^2}{a+b} - \frac{ab}{a+b} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^n \\ &= \frac{ab}{a+b} - \frac{ab}{a+b} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^n \end{aligned}$$

(2)

極限 $n \to \infty$ を考えるため、公比 $-\frac{b^3}{a^3}$ の大きさを評価する。

$$\frac{b}{a} = \frac{\sin \theta}{\sin(120^\circ - \theta)} = \frac{\sin \theta}{\sin 120^\circ \cos \theta - \cos 120^\circ \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta}$$

分母分子を $\sin \theta$ で割ると

$$\frac{b}{a} = \frac{2}{\sqrt{3} \frac{1}{\tan \theta} + 1}$$

条件 $0 < \theta < 30^\circ$ より、$0 < \tan \theta < \frac{1}{\sqrt{3}}$ であるから $\frac{1}{\tan \theta} > \sqrt{3}$ となる。

$$\sqrt{3} \frac{1}{\tan \theta} + 1 > \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1 = 4$$

したがって、$0 < \frac{b}{a} < \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ が成り立つ。これにより $0 < \frac{b^3}{a^3} < \frac{1}{8}$ となるため

$$\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^n = 0$$

である。これを (1) で求めた式に適用すると

$$\lim_{n \to \infty} BA_n = \frac{ab}{a+b}$$

$$\lim_{n \to \infty} CB_n = \frac{ab}{a+b}$$

$$\lim_{n \to \infty} AC_n = \frac{ab}{a+b}$$

極限値 $\frac{ab}{a+b}$ は $a, b$ によって定まる一定の正の値であり、$0 < \frac{ab}{a+b} < a$ を満たす。したがって、点 $A_n, B_n, C_n$ はそれぞれ辺 $BC, CA, AB$ 上の定点に限りなく近づく。

(3)

(2) の結果より、定点 $A_0, B_0$ に対して次が成り立つ。

$$BA_0 = \frac{ab}{a+b}$$

$$CB_0 = \frac{ab}{a+b}$$

点 $A_0$ は辺 $BC$ 上にあるため、$C$ と $A_0$ の距離は

$$CA_0 = a - BA_0 = a - \frac{ab}{a+b} = \frac{a^2}{a+b}$$

$\triangle CA_0B_0$ において、$\angle C = 60^\circ$ として余弦定理を適用する。

$$\begin{aligned} A_0B_0^2 &= CA_0^2 + CB_0^2 - 2 CA_0 CB_0 \cos 60^\circ \\ &= \left( \frac{a^2}{a+b} \right)^2 + \left( \frac{ab}{a+b} \right)^2 - 2 \left( \frac{a^2}{a+b} \right) \left( \frac{ab}{a+b} \right) \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{a^4}{(a+b)^2} + \frac{a^2b^2}{(a+b)^2} - \frac{a^3b}{(a+b)^2} \\ &= \frac{a^2(a^2 - ab + b^2)}{(a+b)^2} \end{aligned}$$

$A_0B_0 > 0$ であるから、平方根をとって

$$A_0B_0 = \frac{a \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{a+b}$$

解説

正三角形の各辺上に点をとり、一定の角度条件で新たな三角形を内接させていく典型的な問題である。図形的な対称性から、1つの頂点周りの関係式を導けば、他の頂点についても文字を巡回させるだけで同じ構造の式が得られることに気づくのがポイントとなる。

連立漸化式を解く際は、$BA_n, CB_n, AC_n$ の関係を1つの数列（例えば $BA_n$）に関する3項進んだ漸化式に帰着させると見通しが良い。また、極限の収束を示す部分では、単に $0 < r < 1$ であることを言うだけでなく、$\theta$ の範囲から公比の絶対値が $1$ より小さいことを三角関数の不等式評価で厳密に示す必要がある。

答え

(1) $BA_n = \frac{ab}{a+b} + \frac{b^2}{a+b} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^{n-1}$ $CB_n = \frac{ab}{a+b} + \frac{a^2}{a+b} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^n$ $AC_n = \frac{ab}{a+b} - \frac{ab}{a+b} \left( -\frac{b^3}{a^3} \right)^n$

(2) $BA_n, CB_n, AC_n$ の極限値がいずれも辺の長さ $a$ より小さい正の定数 $\frac{ab}{a+b}$ に収束することから示された。

(3) $A_0B_0 = \frac{a \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{a+b}$