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大阪大学 1973年理系第1問解説

方針・初手

実数係数の3次方程式は、少なくとも1つの実数解を持つという性質に着目する。すべての解の絶対値が1であり、かつ $c < 0$ であることから、解と係数の関係を用いて実数解の値を特定し、$c$ と $b$ を求める。その後、方程式を因数分解して2次方程式に帰着させ、残る2つの解が絶対値1の複素数となるための条件（判別式）を調べる。

解法1

$$ \alpha\beta\gamma = -c $$

となる。方程式の係数がすべて実数であるため、3次方程式は少なくとも1つの実数解を持つ。それを $\alpha$ とすると、$\alpha$ は実数であり $|\alpha| = 1$ であるから、$\alpha = 1$ または $\alpha = -1$ である。

また、残りの2解 $\beta, \gamma$ については、以下の2つの場合が考えられる。

(i)

$\beta, \gamma$ が虚数解の場合実数係数方程式であるから、$\gamma$ は $\beta$ の共役複素数 $\bar{\beta}$ となる。よって、$\beta\gamma = \beta\bar{\beta} = |\beta|^2 = 1^2 = 1$ となる。

(ii)

$\beta, \gamma$ も実数解の場合条件より $|\beta| = |\gamma| = 1$ であるから、$\beta, \gamma \in \{1, -1\}$ である。よって、その積 $\beta\gamma$ は $1 \cdot 1 = 1$, $(-1) \cdot (-1) = 1$, $1 \cdot (-1) = -1$ のいずれかとなる。

ここで、$\alpha\beta\gamma = -c$ であり、条件 $c < 0$ より $\alpha\beta\gamma > 0$ である。（i）の場合は $\beta\gamma = 1 > 0$ であり、$\alpha\beta\gamma > 0$ となるためには $\alpha > 0$ が必要である。$\alpha \in \{1, -1\}$ より $\alpha = 1$ となる。（ii）の場合、$\alpha, \beta, \gamma \in \{1, -1\}$ であり、これらの積が正となるのは、3つとも $1$ であるか、$1$ つが $1$ で $2$ つが $-1$ の場合である。いずれにせよ、解の1つは必ず $1$ であり、残り2つの解の積は $1$ となる。

したがって、いずれの場合も $x = 1$ はこの方程式の解であり、他の2つの解の積は $1$ であることがわかる。 $\alpha = 1$, $\beta\gamma = 1$ とすると、解と係数の関係より、

$$ -c = \alpha\beta\gamma = 1 \cdot 1 = 1 $$

よって $c = -1$ である。これは $c < 0$ を満たす。

また、$x = 1$ が解であることから、元の方程式に代入して

$$ 1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0 $$

$$ 1 + a + b - 1 = 0 $$

$$ b = -a $$

となる。このとき、元の3次方程式は

$$ x^3 + ax^2 - ax - 1 = 0 $$

と表される。左辺を因数分解すると、

$$ (x^3 - 1) + ax(x - 1) = 0 $$

$$ (x - 1)(x^2 + x + 1) + ax(x - 1) = 0 $$

$$ (x - 1)\{x^2 + (a+1)x + 1\} = 0 $$

となる。$x=1$ はすでに絶対値が $1$ であるため、題意を満たすための条件は、2次方程式

$$ x^2 + (a+1)x + 1 = 0 $$

の2つの解がともに絶対値 $1$ の複素数となることである。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ D = (a+1)^2 - 4 = a^2 + 2a - 3 = (a+3)(a-1) $$

(ア)

$D \leqq 0$ のときすなわち $(a+3)(a-1) \leqq 0$ より $-3 \leqq a \leqq 1$ のとき。このとき、2次方程式は互いに共役な複素数解（重解を含む）を持つ。解を $\omega, \bar{\omega}$ とすると、解と係数の関係から積は $1$ になるので $\omega\bar{\omega} = 1$、すなわち $|\omega|^2 = 1$ となる。よって、解の絶対値は常に $1$ となり、条件を満たす。

(イ)

$D > 0$ のときすなわち $a < -3, 1 < a$ のとき。このとき、2次方程式は異なる2つの実数解を持つ。解と係数の関係より2解の積は $1$ であるから、それらの絶対値がともに $1$ となるのは、2解がともに $1$ かともに $-1$ の場合（すなわち重解）に限られる。しかし、これは $D > 0$ に矛盾する。よって、この場合は不適である。

以上より、求める条件は $-3 \leqq a \leqq 1$, $b = -a$, $c = -1$ である。

解説

実数係数方程式が複素数解を持つ場合、それらは互いに共役になる。共役な複素数 $z, \bar{z}$ の積が絶対値の2乗 $z\bar{z} = |z|^2$ になる性質は、複素数平面や方程式の解を考える上で頻繁に利用される。また、実数係数の2次方程式 $x^2 - px + q = 0$ において、解が絶対値 $r$ の虚数解を持つための条件は、$q = r^2$ かつ $p^2 - 4q < 0$ となる。本問はこの事実を $r=1$ のケースとして適用する典型的で重要な問題である。