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大阪大学 2000年文系第2問解説

方針・初手

与えられた解が虚数（$q \neq 0$）であることから、主に2つのアプローチが考えられる。1つは、解 $x = p + qi$ をそのまま方程式に代入し、実部と虚部がそれぞれ $0$ になることを利用する方針である。もう1つは、実数係数の方程式が虚数解を持つならば、その共役複素数も解となる性質を用い、3次方程式の解と係数の関係に持ち込む方針である。

解法1

$x = p + qi$ は方程式 $x^3 + px + 10 = 0$ の解であるから、そのまま代入すると

$$ (p + qi)^3 + p(p + qi) + 10 = 0 $$

左辺を展開して整理する。

$$ (p^3 + 3p^2 q i - 3p q^2 - q^3 i) + p^2 + p q i + 10 = 0 $$

実部と虚部についてまとめると

$$ (p^3 - 3p q^2 + p^2 + 10) + q(3p^2 - q^2 + p)i = 0 $$

$p, q$ は実数であるから、$p^3 - 3p q^2 + p^2 + 10$ および $q(3p^2 - q^2 + p)$ も実数である。よって、複素数の相等より以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} p^3 - 3p q^2 + p^2 + 10 = 0 & \cdots \text{(1)} \\ q(3p^2 - q^2 + p) = 0 & \cdots \text{(2)} \end{cases} $$

条件より $q \neq 0$ であるから、(2) の両辺を $q$ で割ると

$$ 3p^2 - q^2 + p = 0 $$

$$ q^2 = 3p^2 + p \quad \cdots \text{(3)} $$

これを (1) に代入して $q$ を消去する。

$$ p^3 - 3p(3p^2 + p) + p^2 + 10 = 0 $$

$$ -8p^3 - 2p^2 + 10 = 0 $$

両辺を $-2$ で割って整理する。

$$ 4p^3 + p^2 - 5 = 0 $$

因数定理を用いると、$p = 1$ のとき左辺は $4 + 1 - 5 = 0$ となるので、左辺は $p - 1$ を因数にもつ。

$$ (p - 1)(4p^2 + 5p + 5) = 0 $$

$p$ は実数であるから、$4p^2 + 5p + 5 = 4\left(p + \frac{5}{8}\right)^2 + \frac{55}{16} > 0$ より、$p - 1 = 0$ すなわち $p = 1$ となる。

これを (3) に代入すると

$$ q^2 = 3 \cdot 1^2 + 1 = 4 $$

$q$ は実数であり、$q \neq 0$ を満たすから

$$ q = \pm 2 $$

以上より、$p = 1, q = \pm 2$ である。

解法2

方程式 $x^3 + px + 10 = 0$ は実数係数の方程式である。これが虚数解 $p + qi$ ($q \neq 0$) をもつから、その共役複素数 $p - qi$ もこの方程式の解である。 3次方程式であるから、もう1つの解を実数 $r$ とおくことができる。

3つの解は $p + qi, p - qi, r$ となるので、3次方程式の解と係数の関係より、以下の等式が成り立つ。

$$ \begin{cases} (p + qi) + (p - qi) + r = 0 & \cdots \text{(4)} \\ (p + qi)(p - qi) + (p + qi)r + (p - qi)r = p & \cdots \text{(5)} \\ (p + qi)(p - qi)r = -10 & \cdots \text{(6)} \end{cases} $$

(4) より

$$ 2p + r = 0 $$

$$ r = -2p \quad \cdots \text{(7)} $$

(5) の左辺を展開・整理すると

$$ (p^2 + q^2) + 2pr = p \quad \cdots \text{(8)} $$

(6) の左辺を展開・整理すると

$$ (p^2 + q^2)r = -10 \quad \cdots \text{(9)} $$

(7) を (9) に代入すると

$$ -2p(p^2 + q^2) = -10 $$

$$ p(p^2 + q^2) = 5 \quad \cdots \text{(10)} $$

また、(7) を (8) に代入すると

$$ p^2 + q^2 - 4p^2 = p $$

$$ q^2 = 3p^2 + p \quad \cdots \text{(11)} $$

(11) を (10) に代入して $q$ を消去する。

$$ p(p^2 + 3p^2 + p) = 5 $$

$$ p(4p^2 + p) = 5 $$

$$ 4p^3 + p^2 - 5 = 0 $$

左辺を因数分解すると

$$ (p - 1)(4p^2 + 5p + 5) = 0 $$

$p$ は実数であり、$4p^2 + 5p + 5 > 0$ であるから、$p = 1$。

これを (11) に代入して

$$ q^2 = 4 $$

$q$ は実数かつ $q \neq 0$ であるから、$q = \pm 2$。

解説

複素数が方程式の解である場合の定石として、「直接代入して実部と虚部を比較する手法」と「共役複素数も解になることを利用し、解と係数の関係を用いる手法」の2つがある。本問はいずれの手法でもスムーズに計算を進めることができる。直接代入する場合、$i^2 = -1, i^3 = -i$ に注意して展開し、実部と虚部を正しく分離することが重要である。また、$q \neq 0$ という条件を活かして文字を減らす過程も基本となる。解と係数の関係を用いる場合、方程式の $x^2$ の係数が $0$ であることに注意して立式する。