東北大学 1969年 文系 第1問 解説

方針・初手

与えられた $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ の根が $\alpha,\beta,\gamma$ であるから、まずは Viète の公式で $\alpha+\beta+\gamma$ などを求める。

そのうえで、（2）、（3） は $r$ を $f(r)=0$ を満たす根として $f(r+t)$、$f(r-t)$ を展開すると整理しやすい。奇数次の項と偶数次の項の打ち消し方を見るのが要点である。

解法1

(1)

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ の 3 根が $\alpha,\beta,\gamma$ であるから、

$$ f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) $$

と因数分解できる。右辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma \end{aligned} $$

これを

$$ x^3+ax^2+bx+c $$

と係数比較すれば、

$$ \alpha+\beta+\gamma=-a, \qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b, \qquad \alpha\beta\gamma=-c $$

である。

(2)

$r$ を $\alpha,\beta,\gamma$ のいずれかとする。$f(r)=0$ を用いて $f(r+t)$ を展開すると、

$$ \begin{aligned} f(r+t) &=(r+t)^3+a(r+t)^2+b(r+t)+c \\ &=f(r)+(3r^2+2ar+b)t+(3r+a)t^2+t^3 \end{aligned} $$

同様に、

$$ \begin{aligned} f(r-t) &=(r-t)^3+a(r-t)^2+b(r-t)+c \\ &=f(r)-(3r^2+2ar+b)t+(3r+a)t^2-t^3 \end{aligned} $$

したがって、

$$ f(r+t)+f(r-t)=2f(r)+2(3r+a)t^2=2(3r+a)t^2 $$

である。これを $r=\alpha,\beta,\gamma$ について足すと、

$$ \begin{aligned} &f(\alpha+t)+f(\alpha-t)+f(\beta+t)+f(\beta-t)+f(\gamma+t)+f(\gamma-t) \\ &=2{(3\alpha+a)+(3\beta+a)+(3\gamma+a)}t^2 \\ &=2{3(\alpha+\beta+\gamma)+3a}t^2 \end{aligned} $$

ここで （1） より $\alpha+\beta+\gamma=-a$ であるから、

$$ 2{3(-a)+3a}t^2=0 $$

よって求める式は

$$ 0 $$

に簡単になる。

(3)

与えられた方程式は

$$ f(\alpha+y)+f(\beta+y)+f(\gamma+y)=f(\alpha-y)+f(\beta-y)+f(\gamma-y) $$

である。これを左辺に移項すると、

$$ {f(\alpha+y)-f(\alpha-y)}+{f(\beta+y)-f(\beta-y)}+{f(\gamma+y)-f(\gamma-y)}=0 $$

となる。

再び $r$ を $\alpha,\beta,\gamma$ のいずれかとして計算すると、

$$ \begin{aligned} f(r+y)-f(r-y) &=2(3r^2+2ar+b)y+2y^3 \end{aligned} $$

である。したがって全体では、

$$ \begin{aligned} 0 &=2\Bigl[(3\alpha^2+2a\alpha+b)+(3\beta^2+2a\beta+b)+(3\gamma^2+2a\gamma+b)\Bigr]y+6y^3 \\ &=2\Bigl[3(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)+2a(\alpha+\beta+\gamma)+3b\Bigr]y+6y^3 \end{aligned} $$

ここで

$$ \alpha+\beta+\gamma=-a, \qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b $$

より、

$$ \begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 &=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ &=a^2-2b \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} 3(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)+2a(\alpha+\beta+\gamma)+3b &=3(a^2-2b)+2a(-a)+3b \\ &=a^2-3b \end{aligned} $$

したがって方程式は

$$ 2(a^2-3b)y+6y^3=0 $$

すなわち

$$ 2y(a^2-3b+3y^2)=0 $$

となる。

$0$ 以外の実根をもつためには、

$$ a^2-3b+3y^2=0 $$

が $y\neq 0$ の実数解をもてばよい。これは

$$ y^2=\frac{3b-a^2}{3} $$

となるので、$y\neq 0$ の実数解が存在するための必要十分条件は

$$ 3b-a^2>0 $$

すなわち

$$ a^2<3b $$

である。

解説

この問題の核は、根そのものに $t$ や $y$ を加減した式を扱うとき、$f(r)=0$ を使って展開結果を大幅に簡単化できる点にある。

（2） では $f(r+t)+f(r-t)$ を見ることで奇数次の項が消え、最後に $\alpha+\beta+\gamma=-a$ を使うと全体が $0$ になる。

（3） では逆に $f(r+y)-f(r-y)$ を見ることで偶数次の項が消え、最終的に $y$ の三次方程式ではなく $y(a^2-3b+3y^2)=0$ という形に落ちる。ここで $0$ 以外の実根の存在条件は、$y^2$ が正になる条件に言い換えればよい。

答え

$$ \alpha+\beta+\gamma=-a,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b,\qquad \alpha\beta\gamma=-c $$

$$ f(\alpha+t)+f(\alpha-t)+f(\beta+t)+f(\beta-t)+f(\gamma+t)+f(\gamma-t)=0 $$

また、

$$ f(\alpha+y)+f(\beta+y)+f(\gamma+y)=f(\alpha-y)+f(\beta-y)+f(\gamma-y) $$

が $0$ 以外の実根をもつための必要十分条件は

$$ a^2<3b $$

である。