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東北大学 1969年文系第2問解説

方針・初手

左辺を展開して実部と虚部に分け、複素数の相等から両辺の実部どうし、虚部どうしを比較して2つの等式を立てる。得られた等式について、三角関数の加法定理や和と積の公式を利用して $\alpha, \beta$ の和と差の値を求め、そこから $\alpha, \beta$ を決定する。

解法1

与えられた等式の左辺を展開すると、

$$ (\cos \alpha + i \sin \beta)^2 = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta + 2i \sin \beta \cos \alpha $$

となる。右辺と実部・虚部を比較すると、以下の2式を得る。

$$ \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = \frac{1}{2\sqrt{2}} \quad \cdots \text{①} $$

$$ 2 \sin \beta \cos \alpha = \sqrt{2} + 2\sin \alpha \cos \beta \quad \cdots \text{②} $$

まず、②式を変形する。

$$ 2(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha) = \sqrt{2} $$

正弦の加法定理より、

$$ 2 \sin(\beta - \alpha) = \sqrt{2} $$

$$ \sin(\beta - \alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

ここで、$\alpha$ と $\beta$ の範囲は $0 < \alpha < \frac{3}{5}\pi, 0 < \beta < \frac{2}{5}\pi$ であるから、$-\alpha$ の範囲は、

$$ -\frac{3}{5}\pi < -\alpha < 0 $$

よって、$\beta - \alpha$ の取りうる範囲は、

$$ -\frac{3}{5}\pi < \beta - \alpha < \frac{2}{5}\pi $$

この範囲で $\sin(\beta - \alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは、

$$ \beta - \alpha = \frac{\pi}{4} $$

すなわち、

$$ \alpha - \beta = -\frac{\pi}{4} \quad \cdots \text{③} $$

のときである。このとき、

$$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

である。

次に、①式を変形する。半角の公式および和と積の公式を用いると、

$$ \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} - \frac{1 - \cos 2\beta}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $$

$$ \frac{\cos 2\alpha + \cos 2\beta}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $$

和積の公式 $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を用いて、

$$ \frac{1}{2} \cdot 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2\sqrt{2}} $$

$$ \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \quad \cdots \text{④} $$

となる。④式に $\cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を代入すると、

$$ \cos(\alpha + \beta) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $$

$$ \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2} $$

ここで、$\alpha + \beta$ の取りうる範囲は、

$$ 0 < \alpha + \beta < \frac{3}{5}\pi + \frac{2}{5}\pi = \pi $$

である。この範囲で $\cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$ を満たす値は、

$$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} \quad \cdots \text{⑤} $$

となる。

③式と⑤式より、以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} \alpha - \beta = -\frac{\pi}{4} \\ \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} \end{cases} $$

2式の和をとると、

$$ 2\alpha = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} $$

$$ \alpha = \frac{\pi}{24} $$

2式の差をとると、

$$ 2\beta = \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{7\pi}{12} $$

$$ \beta = \frac{7\pi}{24} $$

これらの値は、元の条件 $0 < \alpha < \frac{3}{5}\pi$ （すなわち $0 < \alpha < \frac{14.4\pi}{24}$）、$0 < \beta < \frac{2}{5}\pi$ （すなわち $0 < \beta < \frac{9.6\pi}{24}$）を満たしている。

解説

複素数の相等条件から実数の方程式を2本立て、それらを三角関数の公式を用いて解く問題である。虚部の式は、整理するとすぐに加法定理の形 $\sin(\beta-\alpha)$ が現れる。実部の式 $\cos^2\alpha - \sin^2\beta$ は、半角の公式で次数を下げたのち、和積の公式を使うことで $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$ と変形できる。この変形は恒等式 $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B)\cos(A-B)$ として知られる頻出のテクニックである。また、角度を求める際は、与えられた $\alpha, \beta$ の定義域から $\alpha+\beta$ や $\beta-\alpha$ のとりうる値の範囲を正確に絞り込むことが不可欠である。