東北大学 2016年 理系 第4問 解説

方針・初手

与えられた

$$ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} $$

は、二項展開すると偶数次の項だけが残る。また、$x=\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ とおくと

$$ x\pm i=\frac{\cos\theta\pm i\sin\theta}{\sin\theta} $$

となり、ド・モアブルの公式がそのまま使える。さらに、$P(x)$ は $x^2$ の多項式になっているので、（3） は （2） の結果を $x=\cot(k\theta)$ に適用すればよい。

解法1

（1） 係数 $a_0,\dots,a_7$ を求める。

二項定理より

$$ (x+i)^7=\sum_{j=0}^7 {}_{7}\mathrm{C}_{j}x^{7-j}i^j,\qquad (x-i)^7=\sum_{j=0}^7 {}_{7}\mathrm{C}_{j}x^{7-j}(-i)^j $$

であるから、

$$ (x+i)^7-(x-i)^7 $$

では $j$ が偶数の項は打ち消し合い、$j$ が奇数の項だけが残る。したがって

$$ P(x)=\sum_{\substack{j=1\ j:\text{奇}}}^7 {}_{7}\mathrm{C}_{j}x^{7-j}i^{,j-1} $$

となる。

各項を計算すると、

$$ \begin{aligned} j=1&:\ {}_{7}\mathrm{C}_{1} x^6 i^0=7x^6,\\ j=3&:\ {}_{7}\mathrm{C}_{3} x^4 i^2=35x^4(-1)=-35x^4,\\ j=5&:\ {}_{7}\mathrm{C}_{5} x^2 i^4=21x^2,\\ j=7&:\ {}_{7}\mathrm{C}_{7} i^6=-1. \end{aligned} $$

よって

$$ P(x)=7x^6-35x^4+21x^2-1 $$

である。

したがって

$$ P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7 $$

と比べれば、

$$ a_0=0,\ a_1=7,\ a_2=0,\ a_3=-35,\ a_4=0,\ a_5=21,\ a_6=0,\ a_7=-1 $$

である。

(2)

$$ x=\frac{\cos\theta}{\sin\theta} $$

とおく。$0<\theta<\pi$ より $\sin\theta\neq 0$ であるから、この $x$ は正しく定まる。

このとき

$$ x+i=\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\sin\theta} =\frac{e^{i\theta}}{\sin\theta}, \qquad x-i=\frac{\cos\theta-i\sin\theta}{\sin\theta} =\frac{e^{-i\theta}}{\sin\theta} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} P!\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right) &=\frac{1}{2i} \left{ \left(\frac{e^{i\theta}}{\sin\theta}\right)^7 --------------------------------------------- \left(\frac{e^{-i\theta}}{\sin\theta}\right)^7 \right}\\ &=\frac{1}{2i,\sin^7\theta}\left(e^{i7\theta}-e^{-i7\theta}\right). \end{aligned} $$

ここで

$$ \frac{e^{i7\theta}-e^{-i7\theta}}{2i}=\sin 7\theta $$

より、

$$ P!\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7\theta} $$

が成り立つ。

(3)

（1） より

$$ a_1=7,\quad a_3=-35,\quad a_5=21,\quad a_7=-1 $$

であるから、

$$ Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7=7x^3-35x^2+21x-1 $$

である。

また （1） で求めた $P(x)$ は

$$ P(x)=7x^6-35x^4+21x^2-1=Q(x^2) $$

と書ける。

ここで $\theta=\dfrac{\pi}{7}$ とし、$k=1,2,3$ に対して

$$ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta}=\cot^2(k\theta) $$

とおく。

（2） に $\theta$ の代わりに $k\theta$ を代入すると、

$$ P(\cot k\theta)=\frac{\sin 7k\theta}{\sin^7 k\theta} $$

を得る。ところが $\theta=\dfrac{\pi}{7}$ であるから

$$ 7k\theta=k\pi $$

であり、

$$ \sin 7k\theta=\sin k\pi=0 $$

である。また $k=1,2,3$ に対して $0<k\theta<\pi$ なので $\sin k\theta\neq 0$ である。したがって

$$ P(\cot k\theta)=0 $$

となる。

ゆえに

$$ Q(x_k)=Q(\cot^2 k\theta)=P(\cot k\theta)=0 $$

が成り立つ。

さらに、$k=1,2,3$ に対して $0<k\theta<\dfrac{\pi}{2}$ であり、$\cot t$ はこの範囲で単調減少するので、$x_1,x_2,x_3$ は相異なる。したがって $x_1,x_2,x_3$ は三次方程式

$$ Q(x)=7x^3-35x^2+21x-1=0 $$

の3つの解である。

よって、解と係数の関係より

$$ x_1+x_2+x_3=\frac{35}{7}=5 $$

である。

解説

この問題の核は、複素数で定義された式を三角関数に結びつける点にある。

特に

$$ \cot\theta\pm i=\frac{\cos\theta\pm i\sin\theta}{\sin\theta} =\frac{e^{\pm i\theta}}{\sin\theta} $$

と変形できれば、$7$ 乗したときに $\sin 7\theta$ が自然に現れる。これにより （2） がほぼ一行で処理でき、その結果を $\theta=\dfrac{\pi}{7},\dfrac{2\pi}{7},\dfrac{3\pi}{7}$ に適用すると （3） もすぐに解ける。

また、（3） では

$$ P(x)=Q(x^2) $$

という構造を見抜くことが重要である。これにより、$P(\cot k\theta)=0$ から直ちに $Q(x_k)=0$ が導かれる。

答え

$$ P(x)=7x^6-35x^4+21x^2-1 $$

したがって

$$ a_0=0,\ a_1=7,\ a_2=0,\ a_3=-35,\ a_4=0,\ a_5=21,\ a_6=0,\ a_7=-1 $$

である。

また、

$$ P!\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7\theta} \qquad (0<\theta<\pi) $$

が成り立つ。

さらに

$$ Q(x)=7x^3-35x^2+21x-1 $$

とすると、$x_k=\dfrac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta}$（$\theta=\dfrac{\pi}{7},\ k=1,2,3$）について

$$ Q(x_k)=0 $$

が成り立ち、

$$ x_1+x_2+x_3=5 $$

である。