東北大学 1991年 文系 第3問 解説

方針・初手

各 $\theta$ に対する長方形 $R_\theta$ は、$xy$ 平面上の半径 $1$、偏角 $\theta$ の方向にある線分を、高さ $0$ から $\theta$ まで平行移動してできる図形である。

したがって、$z=t$ で切ったときに残る点は、「ある $\theta$ に対して $t \le \theta$ を満たす長方形 $R_\theta$ 上の点」である。よって切り口は、$xy$ 平面内で偏角が $t$ 以上 $\dfrac{\pi}{2}$ 以下の範囲にある半径 $1$ の扇形になる。

解法1

各 $\theta$ に対し、長方形 $R_\theta$ は

$$ {(r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ z)\mid 0\le r\le 1,\ 0\le z\le \theta} $$

と表される。

よって立体 $K$ は

$$ K={(r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ z)\mid 0\le r\le 1,\ 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2},\ 0\le z\le \theta} $$

である。

（1） 切り口の面積

平面 $z=t\ \left(0\le t\le \dfrac{\pi}{2}\right)$ で切る。

このとき、点 $(x,y,t)$ が $K$ に属するためには、ある $\theta$ が存在して

$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad 0\le r\le 1,\quad t\le \theta\le \frac{\pi}{2} $$

を満たせばよい。

したがって、切り口は $xy$ 平面内で極座標表示すると

$$ 0\le r\le 1,\qquad t\le \theta\le \frac{\pi}{2} $$

で表される領域である。これは半径 $1$、中心角 $\dfrac{\pi}{2}-t$ の扇形であるから、その面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-t\right) =\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2} $$

である。

（2） 体積

断面積を高さ $t$ で積分すればよいから、体積 $V$ は

$$ V=\int_0^{\pi/2} S(t),dt =\int_0^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right),dt $$

$$ =\left[\frac{\pi}{4}t-\frac{1}{4}t^2\right]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{8}-\frac{\pi^2}{16} =\frac{\pi^2}{16} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$R_\theta$ を「偏角 $\theta$ の方向にある縦長の長方形」とみることである。

高さ $z=t$ で切ると、その高さまで届くのは $\theta\ge t$ の長方形だけである。したがって切り口は、偏角が $t$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで動く半径 $1$ の線分の集まり、すなわち扇形になる。

立体の体積は、その扇形の面積を $t$ について積分すれば直ちに求まる。図形の動きを極座標で捉えるのが自然な問題である。

答え

$$ \text{(1) 切り口の面積 }=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2} \qquad \left(0\le t\le \frac{\pi}{2}\right) $$

$$ \text{(2) 体積 }=\frac{\pi^2}{16} $$