東北大学 1991年 文系 第4問 解説

方針・初手

点 $P_n$ は常に直線 $l:x+y=1$ 上にあるので、$P_n=(t_n,1-t_n)$ とおくのが自然である。

そのうえで、まず 1 次変換 $f$ の式を求める。次に、$P_n'$ を通る原点からの直線と $l$ との交点 $P_{n+1}$ を座標で求めれば、$t_n$ の漸化式が出る。最後に $|P_nP_{n+1}|$ を計算すればよい。

解法1

任意の点 $(x,y)$ は

$$ (x,y)=\frac{x-y}{2}(1,-1)+\frac{x+y}{2}(1,1) $$

と表せる。

$f$ は $(1,-1)\mapsto (\sqrt2,-\sqrt2)$, $(1,1)\mapsto (\sqrt2,0)$ であるから、線形性より

$$ f(x,y) =\frac{x-y}{2}(\sqrt2,-\sqrt2)+\frac{x+y}{2}(\sqrt2,0) =\left(\sqrt2,x,\frac{\sqrt2}{2}(y-x)\right) $$

となる。

ここで $P_n$ は直線 $x+y=1$ 上にあるので

$$ P_n=(t_n,1-t_n) $$

とおく。初期値は

$$ P_1=\left(\frac12,\frac12\right) $$

より

$$ t_1=\frac12 $$

である。

このとき

$$ P_n'=f(P_n) =f(t_n,1-t_n) =\left(\sqrt2,t_n,\frac{\sqrt2}{2}(1-2t_n)\right) $$

となる。

原点 $O$ と $P_n'$ を通る直線上の点は、ある実数 $\lambda$ を用いて

$$ (,x,y,)=\lambda P_n' $$

と書ける。この点が直線 $l:x+y=1$ 上にあるための条件は

$$ \lambda\left(\sqrt2,t_n+\frac{\sqrt2}{2}(1-2t_n)\right)=1 $$

である。括弧内を整理すると

$$ \sqrt2,t_n+\frac{\sqrt2}{2}(1-2t_n)=\frac{\sqrt2}{2} $$

だから

$$ \lambda\cdot \frac{\sqrt2}{2}=1 $$

すなわち

$$ \lambda=\sqrt2 $$

である。したがって

$$ P_{n+1}=\sqrt2,P_n' =\left(2t_n,,1-2t_n\right) $$

となるので、

$$ t_{n+1}=2t_n $$

を得る。

初期値 $t_1=\dfrac12$ より、

$$ t_n=2^{n-1}\cdot \frac12=2^{n-2} $$

である。

よって

$$ P_n=\left(2^{n-2},,1-2^{n-2}\right),\qquad P_{n+1}=\left(2^{n-1},,1-2^{n-1}\right) $$

となるから、

$$ \overrightarrow{P_nP_{n+1}} =\left(2^{n-2},-2^{n-2}\right) $$

である。したがって

$$ a_n=\left|\overrightarrow{P_nP_{n+1}}\right| =\sqrt{(2^{n-2})^2+(-2^{n-2})^2} =\sqrt2,2^{n-2} =2^{,n-\frac32} $$

となる。

解説

この問題の本質は、$P_n$ を直線 $x+y=1$ 上の 1 変数 $t_n$ で表すことにある。すると、2 次元の図形的な操作が 1 変数の漸化式 $t_{n+1}=2t_n$ に落ちる。

また、$P_n'$ の $x+y$ が常に $\dfrac{\sqrt2}{2}$ になるため、原点からの直線を $x+y=1$ にのせる倍率が毎回一定で $\sqrt2$ になる点も重要である。これにより計算が一気に簡単になる。

答え

$$ a_n=2^{n-\frac32}\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

したがって、数列 ${a_n}$ は

$$ a_1=\frac1{\sqrt2},\qquad \text{公比 }2 $$

の等比数列である。