東北大学 2003年 理系 第4問 解説

方針・初手

$x=u$ を固定すると，問題は $yz$ 平面内の線分を考えることに帰着する。

点 $A=(u,0,0)$ から線分 $PQ$ への距離は，線分上の点を媒介変数で表して最小値をとればよい。

また，曲面 $S$ を $x$ 軸のまわりに回転した立体は，各 $x=u$ における断面が円環になる。その内半径は (1) の距離であり，外半径は線分の端点のうち $x$ 軸から遠い方の距離である。したがって断面積を $u$ で積分すれば体積が求まる。

解法1

点 $A=(u,0,0)$ とする。

線分 $PQ$ 上の点 $R$ は，$0\le t\le 1$ を用いて

$$ R=P+t(Q-P) =(u,\ u(1-t),\ t\sqrt{1-u^2}) $$

と表せる。

(1) 点 $(u,0,0)$ から線分 $PQ$ までの距離

$A$ から $R$ までの距離の二乗は

$$ AR^2 ={u(1-t)}^2+{t\sqrt{1-u^2}}^2 $$

であるから，

$$ \begin{aligned} AR^2 &=u^2(1-t)^2+(1-u^2)t^2 \ &=u^2-2u^2t+t^2 \ &=(t-u^2)^2+u^2(1-u^2) \end{aligned} $$

となる。

ここで $0\le u\le 1$ より $0\le u^2\le 1$ なので，$t=u^2$ は確かに線分上の点を与える。したがって最小値は

$$ AR^2_{\min}=u^2(1-u^2) $$

であり，求める距離は

$$ u\sqrt{1-u^2} $$

である。

(2) 回転して得られる立体の体積

$x=u$ における線分上の点 $R$ を $x$ 軸のまわりに回転すると，半径

$$ \rho(t)=\sqrt{y^2+z^2} $$

の円を描く。したがって，断面は $\rho(t)$ のとる値全体からなる円環である。

先ほどと同様に

$$ \rho(t)^2=u^2(1-t)^2+(1-u^2)t^2 =(t-u^2)^2+u^2(1-u^2) $$

であるから，内半径 $r(u)$ は

$$ r(u)=u\sqrt{1-u^2} $$

である。

一方，端点 $P,Q$ の $x$ 軸からの距離はそれぞれ

$$ |OP_{yz}|=u,\qquad |OQ_{yz}|=\sqrt{1-u^2} $$

なので，外半径 $R(u)$ は

$$ R(u)=\max\left{u,\sqrt{1-u^2}\right} $$

である。

よって断面積 $A(u)$ は

$$ A(u)=\pi{R(u)^2-r(u)^2} $$

となる。

ここで $u=\dfrac{1}{\sqrt2}$ を境にして大小が入れ替わるので，場合分けすると

(i) $0\le u\le \dfrac{1}{\sqrt2}$ のとき

$$ R(u)^2=1-u^2 $$

であるから，

$$ \begin{aligned} A(u) &=\pi{(1-u^2)-u^2(1-u^2)} \ &=\pi(1-u^2)^2 \end{aligned} $$

(ii) $\dfrac{1}{\sqrt2}\le u\le 1$ のとき

$$ R(u)^2=u^2 $$

であるから，

$$ \begin{aligned} A(u) &=\pi{u^2-u^2(1-u^2)} \ &=\pi u^4 \end{aligned} $$

したがって体積 $V$ は

$$ V =\int_0^1 A(u),du =\pi\int_0^{1/\sqrt2}(1-u^2)^2,du+\pi\int_{1/\sqrt2}^1u^4,du $$

となる。

それぞれ計算すると，

$$ \int_0^{1/\sqrt2}(1-u^2)^2,du =\int_0^{1/\sqrt2}(1-2u^2+u^4),du $$

より

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/\sqrt2}(1-u^2)^2,du &=\left[u-\frac23u^3+\frac15u^5\right]_0^{1/\sqrt2} \ &=\frac{43}{60\sqrt2} \end{aligned} $$

また，

$$ \int_{1/\sqrt2}^1u^4,du =\left[\frac15u^5\right]_{1/\sqrt2}^1 =\frac15-\frac{1}{20\sqrt2} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} V &=\pi\left(\frac{43}{60\sqrt2}+\frac15-\frac{1}{20\sqrt2}\right) \ &=\pi\left(\frac15+\frac{2}{3\sqrt2}\right) \ &=\pi\left(\frac15+\frac{\sqrt2}{3}\right) \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は，$x=u$ を固定して $yz$ 平面で考えることである。

(1) では，線分上の点を媒介変数で表し，距離の二乗を平方完成すれば最小値がすぐに分かる。

(2) では，回転後の断面を「円盤」と見てしまうと誤る。線分は一般に $x$ 軸を通らないので，回転すると断面は円環になる。その内半径が (1) の距離であり，外半径は端点のうち遠い方で決まる。この見方ができれば，あとは断面積の積分である。

答え

$$ \text{(1)}\quad u\sqrt{1-u^2} $$

$$ \text{(2)}\quad \pi\left(\frac15+\frac{\sqrt2}{3}\right) $$