東北大学 1992年 文系 第1問 解説

方針・初手

まず $AB,BA$ を直接計算し，成分を比較する。

（1） は $AB=BA$ の条件を整理すればよい。

（2） は $a=\dfrac35$ を代入して，$AB=I,\ BA=I$ から各成分を順に決める。

解法1

行列

$$ A=\begin{pmatrix}a&b\ c&d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}a&c\ b&d\end{pmatrix} $$

に対して，積を計算すると

$$ AB= \begin{pmatrix} a^2+b^2 & ac+bd\ ac+bd & c^2+d^2 \end{pmatrix}, \qquad BA= \begin{pmatrix} a^2+c^2 & ab+cd\ ab+cd & b^2+d^2 \end{pmatrix} $$

である。

（1） $AB=BA$ となる条件

$AB=BA$ であるためには，各成分がそれぞれ一致するので

$$ a^2+b^2=a^2+c^2, \qquad ac+bd=ab+cd, \qquad c^2+d^2=b^2+d^2 $$

が必要十分である。

第1式，第3式はいずれも

$$ b^2=c^2 $$

を与える。

また第2式は

$$ ac+bd=ab+cd $$

より

$$ a(c-b)=d(c-b) $$

すなわち

$$ (c-b)(a-d)=0 $$

である。

したがって条件は

$$ b^2=c^2,\qquad (a-d)(b-c)=0 $$

となる。

これを場合分けして書けば，

(i)

$b=c$

または

(ii)

$b=-c$ かつ $a=d$

である。

（2） $a=\dfrac35$ のとき $AB=BA=I$ を満たす $A$

$AB=I,\ BA=I$ より，まず対角成分に注目すると

$$ a^2+b^2=1,\qquad a^2+c^2=1,\qquad b^2+d^2=1,\qquad c^2+d^2=1 $$

である。

ここで $a=\dfrac35$ だから

$$ b^2=1-\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}, \qquad c^2=1-\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}, \qquad d^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25} $$

となる。よって

$$ b=\frac45 s,\qquad c=\frac45 t,\qquad d=\frac35 u \qquad (s,t,u\in{1,-1}) $$

とおける。

次に非対角成分の条件 $ac+bd=0$ を用いると

$$ \frac35\cdot \frac45 t+\frac45 s\cdot \frac35 u=0 $$

すなわち

$$ \frac{12}{25}(t+su)=0 $$

より

$$ t=-su $$

である。

したがって $s,u$ を自由に選ぶと $t$ が定まり，解は4個得られる。

(i)

$s=1,\ u=1$ のとき $t=-1$

$$ A=\begin{pmatrix} \frac35 & \frac45\ -\frac45 & \frac35 \end{pmatrix} $$

(ii)

$s=1,\ u=-1$ のとき $t=1$

$$ A=\begin{pmatrix} \frac35 & \frac45\ \frac45 & -\frac35 \end{pmatrix} $$

(iii)

$s=-1,\ u=1$ のとき $t=1$

$$ A=\begin{pmatrix} \frac35 & -\frac45\ \frac45 & \frac35 \end{pmatrix} $$

(iv)

$s=-1,\ u=-1$ のとき $t=-1$

$$ A=\begin{pmatrix} \frac35 & -\frac45\ -\frac45 & -\frac35 \end{pmatrix} $$

以上が求めるすべての行列である。

解説

この問題では，$B$ は $A$ の $(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分を入れ替えた形になっている。そのため $AB,BA$ を成分計算すると，$b,c$ の関係がまず現れる。

（1） の本質は，$AB=BA$ が

$$ b^2=c^2,\qquad (a-d)(b-c)=0 $$

に尽きることである。これを 「$b=c$ である」または「$b=-c$ かつ $a=d$」 と読み替えると見通しがよい。

（2） では $a=\dfrac35$ から $b,c,d$ の絶対値がそれぞれ $\dfrac45,\dfrac45,\dfrac35$ と決まり，最後は符号の組合せを非対角成分の条件で絞るだけである。$3,4,5$ の関係がそのまま現れる。

答え

$$ AB=BA $$

となるための条件は

$$ b^2=c^2,\qquad (a-d)(b-c)=0 $$

であり，言い換えれば

$$ b=c \quad \text{または} \quad b=-c,\ a=d $$

である。

また $a=\dfrac35$ のとき，

$$ AB=BA= \begin{pmatrix} 1&0\ 0&1 \end{pmatrix} $$

を満たす $A$ は

$$ \begin{pmatrix} \frac35 & \frac45\ -\frac45 & \frac35 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac35 & \frac45\ \frac45 & -\frac35 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac35 & -\frac45\ \frac45 & \frac35 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac35 & -\frac45\ -\frac45 & -\frac35 \end{pmatrix} $$

の4個である。