東北大学 1993年 文系 第2問 解説

方針・初手

$x$軸や $y$軸に接するという条件は，それぞれ $y=0$，$x=0$ を代入して得られる2次方程式が重解をもつことに対応する。

また，2次式の $xy$ 項を消すには座標を $45^\circ$ 回転させるのが自然である。実際，この2次形式は $x+y,\ x-y$ の方向で整理できる。

解法1

(1)

$A$ と接点の座標を求める。

まず，曲線①が $x$ 軸に接する条件を調べる。$y=0$ を代入すると，

$$ (a+b)x^2-2Ax+2a^2=0 $$

を得る。これが重解をもつためには判別式が $0$ であればよいから，

$$ (-2A)^2-4(a+b)\cdot 2a^2=0 $$

すなわち，

$$ 4A^2-8a^2(a+b)=0 $$

より，

$$ A^2=2a^2(a+b) $$

となる。$A>0,\ a>0$ であるから，

$$ A=a\sqrt{2(a+b)} $$

である。

このとき，$x$ 軸との接点は重解の値なので，

$$ x=\frac{2A}{2(a+b)}=\frac{A}{a+b} $$

より，

$$ \left(\frac{A}{a+b},,0\right) ============================= # \left(\frac{a\sqrt{2(a+b)}}{a+b},,0\right) \left(a\sqrt{\frac{2}{a+b}},,0\right) $$

である。

次に，$y$ 軸に接する条件を調べる。$x=0$ を代入すると，

$$ (a+b)y^2-2Ay+2a^2=0 $$

を得る。これも同様に重解をもつので，やはり

$$ A=a\sqrt{2(a+b)} $$

となり，接点は

$$ \left(0,,\frac{A}{a+b}\right) ============================= # \left(0,,\frac{a\sqrt{2(a+b)}}{a+b}\right) \left(0,,a\sqrt{\frac{2}{a+b}}\right) $$

である。

（2） 曲線①を原点のまわりに $45^\circ$ 反時計回りに回転させて得られる曲線の方程式を求める。

回転後の座標を $(X,Y)$ とすると，回転前の座標 $(x,y)$ は

$$ x=\frac{X+Y}{\sqrt{2}},\qquad y=\frac{-X+Y}{\sqrt{2}} $$

で与えられる。

このとき，

$$ x^2+y^2=X^2+Y^2 $$

$$ xy=\frac{Y^2-X^2}{2} $$

$$ x+y=\sqrt{2},Y $$

であるから，これらを①に代入すると，

$$ (a+b)(X^2+Y^2)+2(a-b)\cdot \frac{Y^2-X^2}{2}-2A(\sqrt{2},Y)+2a^2=0 $$

すなわち，

$$ (a+b)(X^2+Y^2)+(a-b)(Y^2-X^2)-2\sqrt{2}AY+2a^2=0 $$

となる。整理して，

$$ 2bX^2+2aY^2-2\sqrt{2}AY+2a^2=0 $$

したがって，

$$ bX^2+aY^2-\sqrt{2}AY+a^2=0 $$

を得る。

ここで （1） より

$$ A=a\sqrt{2(a+b)} $$

であるから，

$$ bX^2+aY^2-2a\sqrt{a+b},Y+a^2=0 $$

となる。$Y$ について平方完成すると，

$$ bX^2+a\left(Y-\sqrt{a+b}\right)^2-a(a+b)+a^2=0 $$

すなわち，

$$ bX^2+a\left(Y-\sqrt{a+b}\right)^2=ab $$

である。よって，

$$ \frac{X^2}{a}+\frac{\left(Y-\sqrt{a+b}\right)^2}{b}=1 $$

を得る。

$a>0,\ b>0$ であるから，これは楕円の標準形である。したがって，回転後の曲線は楕円であり，もとの曲線①も楕円であることが分かる。

解説

この問題の要点は2つである。

1つ目は，「軸に接する」という条件を「その軸との交点を与える2次方程式が重解をもつ」と言い換えることである。図形条件を判別式に落とし込む典型問題である。

2つ目は，$xy$ 項を含む2次曲線を $45^\circ$ 回転で整理することである。この問題では $x^2+y^2$ の係数が等しいので，$45^\circ$ 回転によって $xy$ 項が消え，楕円の標準形に直ちに持ち込める。

答え

$$ A=a\sqrt{2(a+b)} $$

$x$ 軸との接点は

$$ \left(\frac{A}{a+b},\,0\right) = \left(a\sqrt{\frac{2}{a+b}},\,0\right) $$

$y$ 軸との接点は

$$ \left(0,\,\frac{A}{a+b}\right) = \left(0,\,a\sqrt{\frac{2}{a+b}}\right) $$

である。

また，曲線①を原点のまわりに $45^\circ$ 反時計回りに回転させて得られる曲線の方程式は

$$ \frac{X^2}{a}+\frac{\left(Y-\sqrt{a+b}\right)^2}{b}=1 $$

であり，したがって曲線①は楕円である。