東北大学 1993年 文系 第3問 解説

方針・初手

まず $a_n$ の積の形を $a_{n-1}$ と比較し、漸化式に直す。

そのうえで、(2) で求めた $\dfrac{S_n}{a_n}$ の値から規則性を読み取り、数学的帰納法で

$$ S_n=n^3a_n $$

を示す方針で進める。

解法1

$a_n$ は $n\geqq 2$ に対して

$$ a_n=\frac{1^3\cdot 2^3\cdots (n-2)^3\cdot (n-1)^3}{(2^3-1)(3^3-1)\cdots{(n-1)^3-1}(n^3-1)} $$

と書ける。

一方、

$$ a_{n-1}=\frac{1^3\cdot 2^3\cdots (n-2)^3}{(2^3-1)(3^3-1)\cdots{(n-1)^3-1}} $$

であるから、両者を比較すると

$$ a_n=\frac{(n-1)^3}{n^3-1}a_{n-1}\qquad (n\geqq 2) $$

を得る。これが （1） の答えである。

次に （2） を求める。

$a_1=1$ であるから

$$ S_1=a_1=1 $$

より

$$ \frac{S_1}{a_1}=1 $$

である。

また

$$ a_2=\frac{1^3}{2^3-1}=\frac17 $$

なので

$$ S_2=a_1+a_2=1+\frac17=\frac87 $$

したがって

$$ \frac{S_2}{a_2}=\frac{8/7}{1/7}=8 $$

である。

さらに

$$ a_3=\frac{1^3\cdot 2^3}{(2^3-1)(3^3-1)} =\frac{8}{7\cdot 26} =\frac{4}{91} $$

より

$$ S_3=1+\frac17+\frac{4}{91} =\frac{91+13+4}{91} =\frac{108}{91} $$

したがって

$$ \frac{S_3}{a_3}=\frac{108/91}{4/91}=27 $$

である。

よって

$$ \frac{S_1}{a_1}=1,\qquad \frac{S_2}{a_2}=8,\qquad \frac{S_3}{a_3}=27 $$

となる。

ここから

$$ \frac{S_n}{a_n}=n^3 $$

と予想できる。

最後にこれを証明する。すなわち

$$ S_n=n^3a_n $$

を数学的帰納法で示す。

(i)

$n=1$ のとき

$$ S_1=a_1=1=1^3a_1 $$

で成り立つ。

(ii)

$n-1$ で成り立つと仮定する。すなわち

$$ S_{n-1}=(n-1)^3a_{n-1} $$

と仮定する。

このとき

$$ S_n=S_{n-1}+a_n $$

であり、帰納法の仮定を用いて

$$ S_n=(n-1)^3a_{n-1}+a_n $$

となる。

ここで先ほど得た漸化式

$$ a_n=\frac{(n-1)^3}{n^3-1}a_{n-1} $$

を変形すると

$$ a_{n-1}=\frac{n^3-1}{(n-1)^3}a_n $$

である。これを代入すると

$$ S_n=(n-1)^3\cdot \frac{n^3-1}{(n-1)^3}a_n+a_n =(n^3-1)a_n+a_n =n^3a_n $$

となる。

よって $n-1$ で成り立てば $n$ でも成り立つ。したがって数学的帰納法により、すべての $n\geqq 1$ について

$$ S_n=n^3a_n $$

すなわち

$$ \frac{S_n}{a_n}=n^3 $$

が成り立つ。

解説

この問題の要点は、与えられた積をそのまま扱うのではなく、$a_n$ と $a_{n-1}$ を比較して漸化式に落とすことである。

実際、

$$ a_n=\frac{(n-1)^3}{n^3-1}a_{n-1} $$

が出れば、$S_n=S_{n-1}+a_n$ と組み合わせて $\dfrac{S_n}{a_n}$ を調べやすくなる。

（2） で

$$ 1,\ 8,\ 27 $$

と出るので $1^3,2^3,3^3$ を見抜けるかが重要である。予想後は、$S_n=n^3a_n$ という形に直して帰納法で処理するのが自然である。

答え

$$ a_n=\frac{(n-1)^3}{n^3-1}a_{n-1}\qquad (n\geqq 2) $$

また、

$$ \frac{S_1}{a_1}=1,\qquad \frac{S_2}{a_2}=8,\qquad \frac{S_3}{a_3}=27 $$

である。

さらに、すべての $n\geqq 1$ について

$$ \frac{S_n}{a_n}=n^3 $$

が成り立つ。