東北大学 1996年 文系 第1問 解説

方針・初手

交点の $x$ 座標を $x_1,\ x_2$ とし，対応する $y$ 座標を $y_1,\ y_2$ とする。

まず，直線 $y=ax+b$ をだ円

$$ 4x^2+y^2=4 $$

に代入して，交点の $x$ 座標が満たす2次方程式を作る。 その2次方程式が相異なる2実根をもつことが「相異なる2点で交わる」という条件である。

さらに，$y_1,\ y_2$ がともに正である条件は，$y_1+y_2>0,\ y_1y_2>0$ に言い換えると処理しやすい。

解法1

直線 $y=ax+b$ をだ円 $4x^2+y^2=4$ に代入すると，

$$ 4x^2+(ax+b)^2=4 $$

すなわち

$$ (a^2+4)x^2+2abx+(b^2-4)=0 $$

を得る。 この2次方程式の解を $x_1,\ x_2$ とすると，対応する交点の $y$ 座標は

$$ y_1=ax_1+b,\qquad y_2=ax_2+b $$

である。

まず，相異なる2点で交わるためには，上の2次方程式が相異なる2実根をもてばよい。 判別式を $D$ とすると，

$$ \begin{aligned} D &=(2ab)^2-4(a^2+4)(b^2-4) \\ &=4{a^2b^2-(a^2+4)(b^2-4)} \\ &=16(a^2-b^2+4) \end{aligned} $$

であるから，

$$ D>0 \iff a^2-b^2+4>0 \iff b^2<a^2+4 $$

が必要十分である。

次に，$y_1,\ y_2$ がともに正である条件を調べる。 $x_1,\ x_2$ について解と係数の関係より，

$$ x_1+x_2=-\frac{2ab}{a^2+4},\qquad x_1x_2=\frac{b^2-4}{a^2+4} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} y_1+y_2 &=a(x_1+x_2)+2b \\ &=a\left(-\frac{2ab}{a^2+4}\right)+2b \\ &=\frac{8b}{a^2+4}, \end{aligned} $$

また

$$ \begin{aligned} y_1y_2 &=(ax_1+b)(ax_2+b) \\ &=a^2x_1x_2+ab(x_1+x_2)+b^2 \\ &=a^2\frac{b^2-4}{a^2+4}+ab\left(-\frac{2ab}{a^2+4}\right)+b^2 \\ &=\frac{4(b^2-a^2)}{a^2+4}. \end{aligned} $$

したがって，$y_1,\ y_2$ がともに正であるための必要十分条件は

$$ y_1+y_2>0,\qquad y_1y_2>0 $$

より

$$ \frac{8b}{a^2+4}>0,\qquad \frac{4(b^2-a^2)}{a^2+4}>0 $$

すなわち

$$ b>0,\qquad b^2>a^2 $$

である。

ここで $b^2>a^2$ かつ $b>0$ は

$$ b>|a| $$

と同値である。

以上をまとめると，求める条件は

$$ b>|a|,\qquad b^2<a^2+4 $$

である。したがって

$$ |a|<b<\sqrt{a^2+4} $$

が求める範囲である。

解説

交点の $y$ 座標に条件がついているので，単に判別式だけでは不十分である。 「2点で交わる」は判別式で処理し，「その2点の $y$ 座標がともに正」は $y_1+y_2$ と $y_1y_2$ に分けて調べるのが自然である。

境界の意味は次の通りである。

• $b^2=a^2+4$ は接する場合であり，相異なる2点では交わらない。
• $b^2=a^2$，すなわち $b=|a|$ は，交点の一方の $y$ 座標が $0$ になる境界である。

したがって，$ab$ 平面では，上側の双曲線

$$ b=\sqrt{a^2+4} $$

の下側で，かつ2直線

$$ b=a,\qquad b=-a $$

の上側にある部分が求める範囲になる。

答え

求める $(a,b)$ の範囲は

$$ |a|<b<\sqrt{a^2+4} $$

である。

すなわち，$ab$ 平面において，2直線 $b=\pm a$ の上側かつ双曲線 $b^2-a^2=4$ の上側の枝 $b=\sqrt{a^2+4}$ の下側にある部分である。