東北大学 1996年 文系 第2問 解説

方針・初手

各段階で起こることは「長さを $\alpha$ 倍する」「向きを $\theta$ だけ反時計回りに回す」の2つである。

したがって、$\vec p_n$ は長さと向きをそれぞれ追えばよい。初項が $\vec p_1=(1,0)$ なので、$\vec p_n$ を三角関数で直接表すのが自然である。

解法1

(1)

$\vec p_{n+1}$ は $\vec p_n$ を $\theta$ だけ回転し、さらに長さを $\alpha$ 倍したベクトルであるから、$\vec p_n$ の向きは毎回 $\theta$ ずつ増え、長さは毎回 $\alpha$ 倍される。

まず長さについて、

$$ |\vec p_1|=1,\qquad |\vec p_{n+1}|=\alpha |\vec p_n| $$

であるから、

$$ |\vec p_n|=\alpha^{n-1} $$

である。

また、$\vec p_1=(1,0)$ の偏角は $0$ であり、1回進むごとに $\theta$ だけ回転するので、$\vec p_n$ の偏角は $(n-1)\theta$ である。

よって、

$$ \vec p_n=\alpha^{n-1}\bigl(\cos((n-1)\theta),\ \sin((n-1)\theta)\bigr) $$

となる。

したがって、$\vec p_n$ と同じ向きをもつ単位ベクトル $\vec e_n$ は

$$ \vec e_n=\frac{\vec p_n}{|\vec p_n|} =\bigl(\cos((n-1)\theta),\ \sin((n-1)\theta)\bigr) $$

である。

(2)

$\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき、

$$ \vec p_n=\alpha^{n-1}\left(\cos\frac{2(n-1)\pi}{3},\ \sin\frac{2(n-1)\pi}{3}\right) $$

である。

ここで向きは3回ごとに繰り返すので、3項ずつまとめる。$k=0,1,2,\dots,32$ とすると、

$$ \vec p_{3k+1}=\alpha^{3k}(1,0) $$

$$ \vec p_{3k+2}=\alpha^{3k+1}\left(-\frac12,\ \frac{\sqrt3}{2}\right) $$

$$ \vec p_{3k+3}=\alpha^{3k+2}\left(-\frac12,\ -\frac{\sqrt3}{2}\right) $$

である。

したがって、

$$ \vec p_{3k+1}+\vec p_{3k+2}+\vec p_{3k+3} =\alpha^{3k}\left(1-\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha^2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2}(\alpha-\alpha^2)\right) $$

となる。

$99=3\times 33$ であるから、

$$ \sum_{n=1}^{99}\vec p_n =\sum_{k=0}^{32}\left(\vec p_{3k+1}+\vec p_{3k+2}+\vec p_{3k+3}\right) $$

$$ =\left(\sum_{k=0}^{32}\alpha^{3k}\right)\left(1-\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha^2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2}(\alpha-\alpha^2)\right) $$

ここで等比数列の和より、

$$ \sum_{k=0}^{32}\alpha^{3k}=\frac{1-\alpha^{99}}{1-\alpha^3} $$

なので、

$$ \sum_{n=1}^{99}\vec p_n =\frac{1-\alpha^{99}}{1-\alpha^3} \left(1-\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha^2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2}(\alpha-\alpha^2)\right) $$

を得る。

さらに

$$ 1-\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha^2}{2} =\frac{(1-\alpha)(2+\alpha)}{2}, \qquad \frac{\sqrt3}{2}(\alpha-\alpha^2) =\frac{\sqrt3}{2}\alpha(1-\alpha) $$

および

$$ 1-\alpha^3=(1-\alpha)(1+\alpha+\alpha^2) $$

を用いると、

$$ \sum_{n=1}^{99}\vec p_n =\frac{1-\alpha^{99}}{2(1+\alpha+\alpha^2)}(2+\alpha,\ \sqrt3,\alpha) $$

となる。

解説

この問題の本質は、漸化式を成分ごとに追うのではなく、「長さ」と「向き」に分けて考えることである。

(1) では、長さが $\alpha^{n-1}$、偏角が $(n-1)\theta$ と分かれば直ちに書ける。

(2) では、$\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ により向きが3種類で循環することが重要である。ただし長さは毎回 $\alpha$ 倍されるので、3本のベクトルの和がそのまま $0$ になるわけではない。この点が見落としやすい。3項ずつまとめたあと、最後は等比数列の和に帰着する。

答え

$$ \vec e_n=\bigl(\cos((n-1)\theta),\ \sin((n-1)\theta)\bigr) $$

また、$\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき、

$$ \sum_{n=1}^{99}\vec p_n =\frac{1-\alpha^{99}}{2(1+\alpha+\alpha^2)}(2+\alpha,\ \sqrt3,\alpha) $$

である。