東北大学 2009年 文系 第1問 解説

方針・初手

$2^x$ は常に正であるから、$t=2^x , (>0)$ とおいて二次式の問題に直すのが自然である。

すると与えられた不等式は、$t>0$ のすべてに対して

$$ 4t^2+at+1-a>0 $$

が成り立つ条件に言い換えられる。あとは、この二次式が $t>0$ で常に正になるような $a$ の範囲を調べればよい。

解法1

$t=2^x , (>0)$ とおくと、

$$ 2^{2x+2}+2^x a+1-a =4(2^x)^2+a2^x+1-a =4t^2+at+1-a $$

となる。

したがって、求める条件は

$$ f(t)=4t^2+at+1-a>0 \qquad (t>0) $$

がすべての $t>0$ で成り立つことである。

$f(t)$ は上に開く二次関数なので、最小値を調べればよい。

（i） $a\geqq 0$ のとき

$f'(t)=8t+a$ であり、$t>0$ では

$$ 8t+a>0 $$

となるから、$f(t)$ は $t>0$ で単調増加である。

よって、$t>0$ における最小値は $t\to 0^+$ のときに近づく値であり、

$$ \lim_{t\to 0^+} f(t)=1-a $$

である。

ここで、

• $a>1$ なら $1-a<0$ なので、$t=0$ に十分近い正の $t$ で $f(t)<0$ となり不適
• $a=1$ なら $f(t)=4t^2+t>0 , (t>0)$
• $0\leqq a<1$ なら明らかに $f(t)>0$

したがって、この場合は

$$ 0\leqq a\leqq 1 $$

である。

（ii） $a<0$ のとき

このとき頂点の $t$ 座標は

$$ t=-\frac{a}{8}>0 $$

となるので、これが $t>0$ における最小値を与える。

したがって、

$$ f\left(-\frac{a}{8}\right)>0 $$

が必要十分である。

計算すると、

$$ \begin{aligned} f\left(-\frac{a}{8}\right) &=4\left(-\frac{a}{8}\right)^2+a\left(-\frac{a}{8}\right)+1-a \\ &=\frac{a^2}{16}-\frac{a^2}{8}+1-a \\ &=1-a-\frac{a^2}{16}. \end{aligned} $$

よって、

$$ 1-a-\frac{a^2}{16}>0 $$

すなわち

$$ 16-16a-a^2>0 $$

であり、

$$ a^2+16a-16<0 $$

となる。

二次方程式

$$ a^2+16a-16=0 $$

の解は

$$ a=\frac{-16\pm\sqrt{256+64}}{2} =\frac{-16\pm 8\sqrt{5}}{2} =-8\pm 4\sqrt{5} $$

だから、

$$ -8-4\sqrt{5}<a<-8+4\sqrt{5} $$

である。

いまこの場合は $a<0$ なので、結局

$$ -8-4\sqrt{5}<a<0 $$

を得る。

（iii） まとめ

（i）, （ii） を合わせると、

$$ -8-4\sqrt{5}<a\leqq 1 $$

となる。

解説

$2^x$ を $t$ とおくことで、指数の問題を「$t>0$ の範囲で二次式が常に正」という典型問題に変形できる。

この問題では、二次式が「全実数」で正である必要はなく、「$t>0$ で正」であればよい点が重要である。そのため、判別式だけで処理するのではなく、頂点が $t>0$ にあるかどうかで場合分けするのが確実である。

また、$a=1$ のときは $t=0$ を代入できないにもかかわらず、$t\to 0^+$ で $0$ に近づくので注意が必要である。この場合でも実際には $t>0$ なら常に正なので許される。

答え

$$ -8-4\sqrt{5}<a\leqq 1 $$