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東北大学 2009年文系第2問解説

方針・初手

直角三角形である条件 $\angle A = 90^\circ$ は、ベクトルを用いて $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ と表現できる。また、点 $D$ が辺 $BC$ 上にあることは、実数パラメータを用いて $\overrightarrow{AD}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表すことができる。すべてのベクトルを始点 $A$ に統一して計算を進めるのが基本方針となる。

解法1

(1)

$\angle A = 90^\circ$ であるから、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ が成り立つ。また、条件より $|\overrightarrow{AB}| = 1$ である。

点 $D$ は辺 $BC$ 上にあるため、実数 $s$ ($0 \leqq s \leqq 1$) を用いて、 $$\overrightarrow{AD} = (1-s)\overrightarrow{AC} + s\overrightarrow{AB}$$ と表せる。ここで、点 $D$ が $C$ から $B$ まで動くとき、$s$ は $0$ から $1$ まで動く。

このとき、内積 $t = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$ は、 $$\begin{aligned} t &= \{(1-s)\overrightarrow{AC} + s\overrightarrow{AB}\} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= (1-s)\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + s|\overrightarrow{AB}|^2 \end{aligned}$$ となる。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ および $|\overrightarrow{AB}| = 1$ を代入すると、 $$t = (1-s) \cdot 0 + s \cdot 1^2 = s$$ となる。

$0 \leqq s \leqq 1$ であるから、$t$ の動く範囲は $$0 \leqq t \leqq 1$$ である。

(2)

与えられた条件式 $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA}$ の始点を $A$ に統一する。 $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$ であるから、右辺は $$\begin{aligned} \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA} &= (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) \cdot (-\overrightarrow{AC}) \\ &= -\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AC}|^2 \end{aligned}$$ となる。

これを条件式に代入すると、 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AC}|^2$$ $$2\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2$$ が得られる。

ここで、(1) より $\overrightarrow{AD} = (1-t)\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AB}$ であるから、左辺の $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}$ は $$\begin{aligned} \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} &= \{(1-t)\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AB}\} \cdot \overrightarrow{AC} \\ &= (1-t)|\overrightarrow{AC}|^2 + t\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \\ &= (1-t)|\overrightarrow{AC}|^2 \end{aligned}$$ と計算できる。

したがって、条件式は $$2(1-t)|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2$$ となる。

$\triangle ABC$ が存在するためには点 $A$ と点 $C$ は異なる点であるから、$|\overrightarrow{AC}| \neq 0$ である。両辺を $|\overrightarrow{AC}|^2$ で割ると、 $$2(1-t) = 1$$ $$1-t = \frac{1}{2}$$ $$t = \frac{1}{2}$$ これは (1) で求めた範囲 $0 \leqq t \leqq 1$ を満たす。

解法2

座標平面を設定して解く。

点 $A$ を原点 $(0,0)$ とし、$\angle A = 90^\circ$ であることから、点 $B$ を $x$ 軸上に、点 $C$ を $y$ 軸上にとる。 $AB=1$ であるから、点 $B$ の座標は $(1,0)$ とできる。点 $C$ の座標を $(0,c)$ とおく。$\triangle ABC$ が存在するため $c \neq 0$ である。

(1)

点 $D$ は線分 $BC$ 上を $C$ から $B$ まで動く。線分 $BC$ 上の点の座標は、実数 $s$ ($0 \leqq s \leqq 1$) を用いて $$(1-s)(0,c) + s(1,0) = (s, c(1-s))$$ と表せる。

よって $\overrightarrow{AD} = (s, c(1-s))$ であり、点 $D$ が $C$ から $B$ へ動くとき、$s$ は $0$ から $1$ へ動く。また、$\overrightarrow{AB} = (1,0)$ であるから、内積 $t$ は $$\begin{aligned} t &= \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= s \cdot 1 + c(1-s) \cdot 0 \\ &= s \end{aligned}$$ となる。

$0 \leqq s \leqq 1$ より、$t$ の動く範囲は $$0 \leqq t \leqq 1$$ である。

(2)

(1) より $\overrightarrow{AD} = (t, c(1-t))$ であり、$\overrightarrow{AC} = (0,c)$ であるから、左辺 $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}$ は、 $$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = t \cdot 0 + c(1-t) \cdot c = c^2(1-t)$$ となる。

一方、$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = (t, -ct)$、$\overrightarrow{CA} = (0, -c)$ であるから、右辺 $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA}$ は、 $$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA} = t \cdot 0 + (-ct) \cdot (-c) = c^2t$$ となる。

これらが等しいので、 $$c^2(1-t) = c^2t$$

$c \neq 0$ より $c^2 \neq 0$ であるから、両辺を $c^2$ で割って $$1-t = t$$ $$2t = 1$$ $$t = \frac{1}{2}$$ を得る。

解説

直角という条件を「内積が0」と言い換え、始点を $A$ に統一することで機械的な計算に持ち込める。 (1) で設定した媒介変数そのものが内積 $t$ の値に一致することが分かるため、(2) では未知数を増やすことなく条件式を $t$ の方程式に帰着させることができる。座標を設定する解法（解法2）も、図形的な状況が極めてシンプルであるため有効である。直角や長さを座標軸の情報を利用して容易に処理できる。