大阪大学 2023年 文系 第2問 解説

方針・初手

対数の底を $2$ に揃える。(1)は底の変換公式や対数の性質を正確に用いて $y$ を $t$ の式で表す。

(2)は(1)で得られた文字定数を含む3次関数の最大値を求める問題である。変数 $t$ のとり得る値の範囲を求め、極値をとる $t$ の値と区間の位置関係、さらに区間の端点での関数値との大小を比較して場合分けを行う。

解法1

(1)

底の変換公式より、各対数部分は次のように変形できる。

$$ \log_{\frac{1}{2}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{\log_2 x}{-1} = -t $$

$$ \log_{\sqrt{2}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 x}{\frac{1}{2}} = 2t $$

$$ \log_4 x^3 = \frac{\log_2 x^3}{\log_2 4} = \frac{3 \log_2 x}{2} = \frac{3}{2} t $$

これらを $y$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} y &= (-t)^3 + a(2t)\left(\frac{3}{2}t\right) \\ &= -t^3 + 3at^2 \end{aligned} $$

(2)

$x$ の範囲は $\frac{1}{2} \leqq x \leqq 8$ であり、底 $2$ は $1$ より大きいから、各辺を底 $2$ の対数にとると

$$ \log_2 \frac{1}{2} \leqq \log_2 x \leqq \log_2 8 $$

$$ -1 \leqq t \leqq 3 $$

$f(t) = -t^3 + 3at^2$ とおき、区間 $-1 \leqq t \leqq 3$ における $f(t)$ の最大値 $M$ を求める。 $f(t)$ を $t$ で微分すると

$$ f'(t) = -3t^2 + 6at = -3t(t - 2a) $$

$f'(t) = 0$ とすると、$t = 0, 2a$ である。 $a$ は正の実数であるから $2a > 0$ であり、$f(t)$ の増減を考えると $t = 0$ で極小、$t = 2a$ で極大となる。 ここで、区間の端点における関数値と極大値を計算しておく。

$$ f(-1) = -(-1)^3 + 3a(-1)^2 = 3a + 1 $$

$$ f(3) = -3^3 + 3a \cdot 3^2 = 27a - 27 $$

$$ f(2a) = -(2a)^3 + 3a(2a)^2 = 4a^3 $$

極大値をとる $t = 2a$ が区間 $-1 \leqq t \leqq 3$ に含まれるかどうか、および最大値の候補となる値の大小関係により場合分けを行う。

(i)

$0 < 2a < 3$ すなわち $0 < a < \frac{3}{2}$ のとき

区間 $-1 \leqq t \leqq 3$ における最大値の候補は、極大値 $f(2a)$ と左端の値 $f(-1)$ である。これらの差をとると

$$ \begin{aligned} f(2a) - f(-1) &= 4a^3 - (3a + 1) \\ &= (a - 1)(4a^2 + 4a + 1) \\ &= (a - 1)(2a + 1)^2 \end{aligned} $$

$a > 0$ より $(2a + 1)^2 > 0$ であるから、この差の符号は $a - 1$ の符号と一致する。 よって、以下のようになる。

・$0 < a \leqq 1$ のとき、$f(2a) \leqq f(-1)$ となるため、最大値は $f(-1) = 3a + 1$ ・$1 \leqq a < \frac{3}{2}$ のとき、$f(2a) \geqq f(-1)$ となるため、最大値は $f(2a) = 4a^3$

(ii)

$2a \geqq 3$ すなわち $a \geqq \frac{3}{2}$ のとき

区間 $0 \leqq t \leqq 3$ において $f'(t) \geqq 0$ となるため、$f(t)$ は $-1 \leqq t \leqq 0$ で減少し、$0 \leqq t \leqq 3$ で単調に増加する。 したがって、最大値の候補は両端の値 $f(-1)$ と $f(3)$ である。 いま $a \geqq \frac{3}{2}$ のとき、$a > \frac{7}{6}$ を満たすため

$$ \begin{aligned} f(3) - f(-1) &= (27a - 27) - (3a + 1) \\ &= 24a - 28 \\ &= 4(6a - 7) > 0 \end{aligned} $$

となり、常に $f(3) > f(-1)$ が成り立つ。 よって、最大値は $f(3) = 27a - 27$ となる。

以上 （i）, （ii） より、最大値 $M$ は以下のようにまとまる。

解説

(1) は対数の性質（底の変換公式と真数の累乗）の基本確認である。ここで計算ミスをすると (2) に大きく影響するため、正確に変形したい。

(2) は文字定数を含む3次関数の最大・最小問題の典型である。 極値をとる値（本問では $t=2a$）が変域に対してどう位置するかで場合分けを行う。本問では、極大値が変域内にある場合に「極大値と区間の端点のどちらがより大きいか」を比較する必要が生じる点がポイントである。 値の差をとって因数分解し、符号を調べるという定石の処理が求められる。

答え

(1)

$$ y = -t^3 + 3at^2 $$

(2)

$$ M = \begin{cases} 3a + 1 & (0 < a \leqq 1 \text{ のとき}) \\ 4a^3 & (1 \leqq a \leqq \frac{3}{2} \text{ のとき}) \\ 27a - 27 & (a \geqq \frac{3}{2} \text{ のとき}) \end{cases} $$