北海道大学 1978年 理系 第3問 解説

方針・初手

(1) は対数の真数条件を確認したうえで、底を揃えるか置換して2次不等式に帰着させる。(2) は(1)で求めた範囲における対数関数の最大・最小問題である。(1)と同様に変数の置換を行い、2次関数の最大・最小問題として処理する。

解法1

(1)

対数の真数条件より、

$$ x > 0 $$

底の変換公式より、$\log_{0.5} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 0.5} = -\log_2 x$ であるから、与えられた不等式は、

$$ 2(-\log_2 x)^2 + 9(-\log_2 x) + 9 \leqq 0 $$

整理して、

$$ 2(\log_2 x)^2 - 9\log_2 x + 9 \leqq 0 $$

ここで $u = \log_2 x$ とおくと、不等式は、

$$ 2u^2 - 9u + 9 \leqq 0 $$

左辺を因数分解して、

$$ (2u - 3)(u - 3) \leqq 0 $$

これを解くと、

$$ \frac{3}{2} \leqq u \leqq 3 $$

すなわち、

$$ \frac{3}{2} \leqq \log_2 x \leqq 3 $$

底は $2 > 1$ であるから、不等号の向きは変わらず、

$$ 2^{\frac{3}{2}} \leqq x \leqq 2^3 $$

$$ 2\sqrt{2} \leqq x \leqq 8 $$

これは真数条件 $x > 0$ を満たしている。

(2)

関数 $f(x)$ を変形すると、

$$ \begin{aligned} f(x) &= \left( \log_2 \frac{x}{3} \right) \left( \log_2 \frac{x}{4} \right) \\ &= (\log_2 x - \log_2 3)(\log_2 x - \log_2 4) \\ &= (\log_2 x - \log_2 3)(\log_2 x - 2) \end{aligned} $$

(1) と同様に $u = \log_2 x$ とおく。(1) の結果より、$x$ が与えられた範囲を動くとき、$u$ の取り得る値の範囲は、

$$ \frac{3}{2} \leqq u \leqq 3 $$

$f(x)$ を $u$ の関数とみて $g(u)$ とおくと、

$$ \begin{aligned} g(u) &= (u - \log_2 3)(u - 2) \\ &= u^2 - (2 + \log_2 3)u + 2\log_2 3 \\ &= \left( u - \frac{2 + \log_2 3}{2} \right)^2 - \left( \frac{2 + \log_2 3}{2} \right)^2 + 2\log_2 3 \\ &= \left( u - \frac{2 + \log_2 3}{2} \right)^2 - \frac{4 + 4\log_2 3 + (\log_2 3)^2}{4} + \frac{8\log_2 3}{4} \\ &= \left( u - \frac{2 + \log_2 3}{2} \right)^2 - \frac{(\log_2 3)^2 - 4\log_2 3 + 4}{4} \\ &= \left( u - \frac{2 + \log_2 3}{2} \right)^2 - \frac{(2 - \log_2 3)^2}{4} \end{aligned} $$

$g(u)$ は下に凸の2次関数であり、その軸は直線 $u = \frac{2 + \log_2 3}{2}$ である。

ここで、$\log_2 2 < \log_2 3 < \log_2 4$ より $1 < \log_2 3 < 2$ であるから、

$$ 1.5 = \frac{2 + 1}{2} < \frac{2 + \log_2 3}{2} < \frac{2 + 2}{2} = 2 $$

となり、軸は定義域 $\frac{3}{2} \leqq u \leqq 3$ 内に存在する。 したがって、最小値 $L$ は頂点においてとり、

$$ L = -\frac{(2 - \log_2 3)^2}{4} $$

次に、最大値について調べる。 最大値は定義域の両端のいずれかでとるため、定義域の中点と軸の大小関係を考える。 定義域 $\frac{3}{2} \leqq u \leqq 3$ の中点は $\frac{1.5 + 3}{2} = 2.25$ である。 軸は $u < 2$ であったから、軸は定義域の中点よりも左側に位置する。 よって、最大値は軸からより遠い右端、すなわち $u = 3$ のときにとる。

$$ \begin{aligned} M &= g(3) \\ &= (3 - \log_2 3)(3 - 2) \\ &= 3 - \log_2 3 \end{aligned} $$

解説

(1) は対数不等式の基本問題であり、底を揃えて変数を置き換える定石通りに解くことができる。真数条件の確認を忘れないようにする。

(2) は置き換えた変数の2次関数に帰着する問題である。文字定数である $\log_2 3$ が含まれるため、頂点の位置や区間の端点における値の大小比較を正確に行う必要がある。具体的な概算値を用いて大小関係を評価する手法はよく問われるため、慣れておきたい。

答え

(1) $2\sqrt{2} \leqq x \leqq 8$

(2) $M = 3 - \log_2 3$、$L = -\frac{(2 - \log_2 3)^2}{4}$